困扰数学界 30 多年的塔 拉格兰卷积猜想，被 90 后华人数学家攻破了！

苏黎世联邦理工学院 Yuansi Chen，刚刚在 arXiv 上发布了自己的最新研究成果：

论文证明了布尔超立方体上的塔 拉格兰卷积猜想（Talagrand ’ s convolution conjecture），结果精确到一个 log log η 因子。

这个结果引发了大量关注，简单来说，是因为这为理解高维离散空间中的平滑化提供了数学论证。

另外，这项研究也与机器学习息息相关：

从理论上支撑了机器学习中的正则化概念；

为开发处理离散数据的生成式 AI 模型提供了直接的数学工具和物理直觉。

破解 30 年数学难题

塔 拉格兰卷积猜想由 " 数学界诺奖 " ——阿贝尔奖得主 Michel Talagrand 在 1989 年提出。

我们先来了解两个概念，其一，是 " 加热平滑 "：

想象一个非常高维的空间，比如一个巨大的多维棋盘，其中每个方格的状态都是二元选择。其中有一个函数，这个函数可能非常 " 尖锐 "，有的地方数值特别大，有的地方数值特别小。

数学上的 " 卷积 " 或 " 热半群 " 操作，就像是对这个函数进行 " 加热 "，使得热量扩散，高数值向周围低数值的地方流动。结果就是函数变得平滑，尖峰被削平了 。

其二，是马尔可夫不等式：

马尔可夫不等式告诉我们，一个非负随机变量取到极大值的概率是很小的。比如平均值是 1，那么数值超过 100（η）的概率最多只有 1%（即 1/ η）。

Talagrand 的猜想是，在高斯空间或布尔超立方体等概率空间上对函数进行 " 加热平滑 "（卷积）操作后，这个函数取到极大值的概率应该比马尔可夫不等式预测的还要低得多。

他认为这个概率不仅受 1/ η 控制，还应该额外除以一个跟

有关的因子。

就是说，塔 拉格兰卷积猜想认为，经过平滑处理的数据，出现极端异常值的可能性比一般理论预测的要低一个特定的量级。

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此前，这一猜想的高斯形式（连续空间）已经被数学家们攻克。但将其推广到布尔超立方体这样的离散空间，依然是一个巨大的挑战。

因为高斯形式被解决的基础是连续空间中微积分和随机微分方程提供的平滑性和工具完备性，这些特性都无法直接被迁移到离散空间中。

对此，Yuansi Chen 的解决思路是，借鉴高斯空间随机分析的框架，利用反向热过程的特性来设计微扰，以适应布尔超立方体的离散特性。

具体来说，新的耦合构造利用了沿随机过程的扰动。其扰动项 δ 不是常数，而依赖于状态和坐标。

论文最终证明：

表明塔 拉格兰卷积猜想的核心思想是正确的。

这一结果将原始猜想解决到了仅相差一个 log log η 因子的精度。由于 log log η 的增长极其缓慢，可以认为其接近完整解决了塔 拉格兰卷积猜想。

值得关注的是，该论文是一篇关于概率论的纯数学研究，但其结果与机器学习，乃至生成式 AI 技术有直接的关联。

首先，论文中使用的 " 反向热过程 "，是扩散模型在布尔超立方体上的对应，两者具有很高的相似性。

这意味着这项研究可能有助于理解或开发针对离散数据的扩散生成模型。

其次，塔 拉格兰卷积猜想的核心，是量化卷积操作带来的正则化效应。而在机器学习中，正则化是防止模型过拟合、提高泛化能力的关键手段。

这一结果为 " 为什么平滑化处理或添加噪声，能让模型在复杂高维空间中表现更稳定 " 提供了理论支持。

此外，在机器学习中，很多数据本质上都是离散和高维的。该研究有助于理解高维离散空间的几何性质，对于发展关于二值数据或逻辑函数的学习理论很有价值。

90 后华人数学家

论文作者 Yuansi Chen 出生于 1990 年 7 月，是浙江宁波人。

他的主要研究方向是统计机器学习、马尔可夫链蒙特卡罗方法、应用概率、高维几何等。

2019 年，他博士毕业于加州大学伯克利分校，师从华人统计学家郁彬。

在苏黎世联邦理工学院从事 2 年博士后研究之后，他在 2021 年至 2024 年加盟杜克大学，任统计科学系助理教授。2024 年初转入苏黎世联邦理工学院，任副教授。

Google Scholar 显示，他的论文被引数为 1623，h-index 为 13。

他还是 2023 年斯隆研究奖的获得者。

此前，他在 KLS 猜想上的工作也受到了不少关注：困扰数学家 25 年的 " 切苹果 " 难题，被一位华人统计学博士解决了。