最近在《知识分子》上读到一篇特写《数学战争警示录：我们需要什么样的数学教育？》，颇有感触。在这俄乌战争已持续三年有余、中东冲突也不时阴云密布的不安全世界中，文章标题前半部中的 " 战争 " 一词，确实容易触动读者那敏感的厌战神经，尽管它比喻的是由于美国教育家和数学家关于 " 数学教育 " 长期论战累积而成的弥漫在北美上空的 " 战争烟火 "。
这一场旷日持久的 " 数学战争 " 的直接遭殃者是美国的一代代学生。标题下半部的问话—— " 我们需要什么样的数学教育？"，倒是一个好问题，因为它对中美两国师生都是至关重要的大问题。
可是，这又是一个极难回答的问题。如果数学教育家、职业数学家、中小学数学老师、修数学课的青少年学生和学生家长各任命几位代表组成 " 评分委员会 " 的话，那么他们对此的讨论将会异常激烈。
无论在美国还是在中国，这几类人对 " 数学教育 " 的释义、理解及观念可能彼此大相径庭，提出的求解思路甚至可能南辕北辙。然而，集思广益、畅所欲言，先观察、后思索、想出路、提方案，总是解决棘手问题的一个良策。所以我们作为《知识分子》的忠实读者，应该积极应对，想方设法，从他国的正反实践中吸取教训，共同努力提高我国数学教育的水平和效率。
今年六月一日，我从教了整整三十五年书的一所美国研究型公立大学正式退休，积累了对这个国家从初等到高等数学教育方方面面的若干观察。在这篇文章里，我试图描述我所看到乃至亲身体验的美国数学教育，并提出自己的点滴感想，以抛砖引玉。
14-5 等于 11？
我于 1986 年元旦赴美，去了密歇根州立大学数学系读博士学位。为了获得工作报酬支付读书及生活开销，我同时也在系里担任教学助理，先当习题课老师，后主讲小班初等微积分。1990 年获得学位后，我应聘担任另一所州立大学的正式助理教授而开始全职教书，直至退休。
之前，我在国内也教过数学，最早的实践是在 14 周岁那年，刚高中毕业不久的我当了一个月的代课老师，教了一个初中班的数学，第一节课讲的是怎样计算球冠的体积。1984 年在本科母校南京大学数学系拿到硕士学位后，我留系任教，第一个学年教了物理系和天文系新生的基础课 " 甲类高等数学 "，第二个学年的秋季学期教了本系大四学生的专业课 " 最优化理论和方法 "，然后我就出国留学去了。
在过去的几十年间，利用回国访问的机会，我也曾在多地多次讲授过大学数学课程。这样说来，我在中美两国都教过书，对两国的教育尤其是数学教育有进行一些比较的基础。
我对美国数学教育的初步印象产生在我到达留学目的地密歇根州立大学后的第一个学季中，2016 年，商务印书馆出版了我的书《亲历美国教育：三十年的体验与思考》，书中第三章专门回忆了我这个新来乍到的外国研究生 " 新的发现 "，包括对美国理工科大学生数学知识现状的发现：
" 来到占地面积可以覆盖五十个南大鼓楼老校区的密歇根州立大学，第一次给美国大学生教室答疑前，我想，班上是全世界最发达国家的学生，他们的脑子也一定是最灵光的，知识也一定是最丰富的，一定要使出浑身解数教，不能让他们小看自己。没想到，一个小时下来，学生问的问题十分简单，都是我想都不要想就能完全回答的。
比如像多项式这样的最简单初等函数的导数运算，或一元二次方程的求根公式。我惊讶地发现，大部分人都背不出我们从小就记得滚瓜烂熟的最基本代数恒等式，像平方差公式之类的。我甚至都怀疑他们是否读过高中，因为这些初等代数的知识对于中国的大部分初中生，都已掌握得透熟。
这样的学生毕业后，真的能成为美国各行各业到处都有的杰出科学家和工程师吗？刚刚进入美国高等教育体系的我，真是百思不得其解。"
我当时的日记中还记下了另一件事。那天是 1986 年 10 月 9 日，我因监考所教习题课班级的期中考试而在教室内来回走动，无意中瞟见一名女生在答卷上将 14-5 的答案写成等于 11，目睹此等中国小学一年级水平的算术错误，我心生怜悯之心，便用手指了一指这个 " 等式 " 暗示她再好好地算一下，但她却坚持回答我："Yes， it ’ s eleven（对，就是 11）"。我于是无计可施，举手投降。
刚到美国不久的我，由于在教学中常碰到这类例子，开始寻找 " 为何是这样？" 的答案。我曾经猜测，原因或许是这个有四万五千名学生的大学规模太大，或者是由于基础课大班超过百人的听课学生人数太多，从而使得讲课教授的教学效果不彰。
其实不然，十年后我的一位朋友告诉我，他所任教的美国一所著名的私立人文学院，虽然全校只有区区两千多名学生，而且从全国各地考进去的基本上都是高中母校的优秀毕业生，但班上的大学生，绝大多数根本没背过解一元二次方程的求根公式。
然而，这个学校的毕业生中却出了无数个杰出人才，包括了宋美龄、谢冰心、希拉里 · 克林顿 ( Hillary R. Clinton ) 和玛德琳 · 奥尔布赖特 ( Madeleine Albright ) 等中国人耳熟能详的鼎鼎大名。又过了十来年，我的教授朋友请我去给他班上的学生讲点 " 函数迭代 " 的基本思想，在我准备讲稿时他关照我 " 讲浅点，讲浅点 "。
我就读的密歇根州立大学是一所很不错的公立大学，它是美国第一家 " 政府授地 " 大学，也是第一家农学院，理工科各系都有成就斐然的学者，有不少专业在全美享有盛名，包括排名第一的核物理。照理说，新生们在高中阶段应该学得很好，尤其是进理工院系深造的那些，应该已经将高中数学——代数、几何、三角——透彻地掌握了。然而现实却打破我的想象，我决定要在接下来的日子里继续观察。
数学教育家和数学家之战
我发现其中一个根源是美国那群 " 数学教育家 "，这些数学教育领域的专家或行政官员，一般从事教育方法的教学和研究，但对教育的学科内容却关注不够，甚至缺乏有足够深度的理解。他们中的大部分在教育学院任教。他们的教育理念经过几代人的继承和推进已经根深蒂固，连那些深谙教育之道并且热爱学生的著名创造型数学家也难以撼动。
这种理念在美国大概发端于百年前实用主义哲学家杜威的现代教育学说，更早的源头可在十九世纪法国启蒙主义思想家的部分著作中找到。可是，正如列宁说过的一句告诫之语 " 真理哪怕是向前迈出一小步就会变成谬误 "，正是那些不懂教育真谛却能决定教育方式的那些人，误将启蒙主义的思潮用于自身具有特殊规律的教育领域而导致了美国数学教育的大溃败。
几十年间，美国推崇 " 进步主义 ( progressivism ) " 哲学与持传统教学观念的两派数学工作者，彼此之间因观念冲突而持续较量，结果是广大民众对中小学数学教育不断下降的水平日趋不满。在此大背景下，已打下进步主义烙印的国家数学教师委员会于 1980 年提出了一个标题为 " 行动的规则 " ( An Agenda for Action ) 的报告，其中称基础数学教育要 " 立足于解决问题 "，而不能 " 先完全掌握解题技能 "，主张甚至小学生也应被允许用计算器而不是用手算。
报告强调学生 " 探索式发现 " 以解决真实世界的问题。这样一来，高中传统数学课程可以不分代数几何三角分门别类讲授，而是一锅端，形成十年后的 " 综合数学 " 大杂烩课本，甚至日后微积分的重要性也被弱化。
到了 1989 年，国家数学教师委员会进一步提出了 " 学校数学课程和测试标准 "，它的 24 名制定者除了两位是中小学教师外，其余大都是教育学院的教授，数学家的数目为零。然而，这种数学内容不够的 " 标准 " 为何能在全美大行其道呢？一个原因是进步主义教育专家们善于玩弄概念游戏来蛊惑人心，比如误导性采用 " 认知心理学 " 中的建构主义 ( constructivism ) 来宣传他们所提倡的教育理念。
一些在学术研究之外愿意花时间的数学家特此撰文批驳。《美国数学会通告》也刊登过一些著名数学家的文章，重铺数学教育的 " 正确之道 "。二十年前，我在美国数学会的一次地区性会议的数学教育分会场，亲眼目睹华裔数学家伍鸿熙教授舌战一群数学教育家，批评他们撰写的中小学数学教材 " 不合逻辑 "。正因为无意中发现加州公立学校的数学教育状况令人忧虑，这位几何学家挺身而出，为全美数学教育走向正常化奋斗到正式退休为止。
到了九十年代初，我已经成了一名助理教授，美国国家科学基金会也加入了 " 进步主义 " 的行列，除了大力打造中小学数学教材，也对大学的微积分教科书开始 " 改革 "，其中最著名的当数所谓的 " 哈佛微积分 "。这本教材的挂帅编者是哈佛一名教育学院的教师，编写组人员为其他参与大学和中学的几位老师，包括我系的一对夫妇，丈夫是早已不做数学研究的资深副教授，太太是只有硕士学位的讲师。
由于他们进入了写作班子，作品出炉后我系必须用它作为微积分教本。这不仅令任课教师苦恼，更让修课学生糊涂，因为此书到处都是计算器的影子，学生只能盲目跟着它们去 " 探索发现 " 微积分的奥秘。对等地，通常对微积分的先修课程高中代数的要求降到了最低。
作为一个例子，我们看看这本书是怎样讲授函数的导数的。这是微积分里学完连续函数后的第一个关键概念，是积分思想的前奏曲。然而，本书让首次学到这个新概念的大一新生如同在修一门计算数学专业课：用差商代替导数！这就是进步主义者奉若神明的 " 探索性学习法 "，什么极限过程，什么 "ε-δ" 语言，统统滚蛋！
这本教材似乎要让学生相信：导数就是差商，只要对自变量取非常靠近的两个数，求出它们对应的函数值，然后做两个减法，再将它们相除一下，导数就现身而出。
在国家数学教师委员会那个臭名昭著的 1980 年报告问世三年后，幸好里根总统政府教育部任命的一个特设委员会提出了一个观点针锋相对、目标截然不同的报告《危险中的国家》 ( A Nation at Risk ) 。它并非耸人听闻地指出：" 我们国家的教育基础正被平庸所侵蚀，威胁着我们国家和民族的未来 "。
它悲哀地发现，未来充实数学教师队伍的大学新生，许多人基础薄弱，在高中成绩位于中下到垫底不等。这样的人未来手执教鞭，岂不误人子弟？然而，重病在身的美国数学教育，四十年来却未能恢复元气，至今仍未康复。
美国普通数学教育失败在哪里
跨入新世纪，我也在大学全职教了十年书，讲授了多门或浅或深从本科到博士不等的数学课，从高中生学过的初等代数到博士生基础课泛函分析我都教过。尽管我的教学受到学生们普遍的赞扬，连我的教授同事也说我 " 是个天生的教师 "，然而在教书这一点上，我内心一直感到悲哀：班上绝大多数学生包括研究生的数学认知程度是差之又差的，他们无法与我教过一年半的南京大学的学生比。当然，这在美国几乎所有的公立大学都是一般性的存在。
既然国家层面早就认识到提升中小学生数学知识的战略重要性，为什么美国普通大学生的数学水平几十年来难以提高？冰冻三尺非一日之寒。这一方面来自上节所述的关于教育措施的两派观念之争，另一方面，这也与长期以来美国中小学数学教师的素质有关。
我曾经多次教过本系夏季学期研究生课程，班上的学生除了硕士生或博士生外，还有部分是只能在暑假前来注册修课的高中数学老师，有的甚至来自外州，他们在职攻读数学教育硕士或博士学位。十余年前，为了让这些中学数学老师学到一点现代数学分支离散动力系统的概念和方法，我开了一门名叫 " 动力几何 " 的课，意在通过迭代三角形，让学过甚至教过欧几里得平面几何的他们开启从有序到混沌的几何之旅。
当讲到 " 垂足三角形 " 迭代并构造其对应的一类我曾参与研究并发表过几篇学术论文的分形时，我先在黑板上画上一个锐角三角形，然后从它的每一个顶点作其对边的垂线，得到的三个垂足构成原先三角形的垂足三角形，将这个三角形拿走（三条边保留下来），那么原先的大三角形内剩下三个小三角形，这完成了制造对应分形的无穷次迭代的第一次迭代，之后对每一个剩下的更小三角形如法炮制，直至无穷。为了获得最终形成的那个称之为 " 谢尔宾斯基垂足三角形 ( Sierpi ń ski pedal triangle ) " 分形的维数性质，需要证明这三个小三角形都与初始选定的大三角形相似。见下图所示：
要证明这大小四个三角形两两相似，即证明它们的对应角相等，只需用到三垂线交于一点的事实和四点共圆及圆周角的性质，这些都是初等几何的基本内容。我相信中国读过中学数学的人都应该会做，考上大学的更不在话下了。既然听我课的都是研究生和中学数学教师，我想请他们来证明，顺便摸摸他们的数学根底，于是我就问谁愿意上黑板展示一下。我等了很久，却没有一个人举手上讲台。
这就是美国中学数学老师自我画出的一幅数学图景。他们在本国接受了全部的教育，在小学阶段基本上是不被要求熟记 " 小九九乘法口诀表 " 的，因为他们的老师和家长也没有背过，然而他们很早就学会使用电子计算器，因为有影响力的教育专家们鼓励他们只管用，而计算器制造商则依赖有天赋和创造力的工程师不断革新产品，不停增强计算画图功能，让这帮孩子用得方方便便，爱不释手，答案手到擒来。
在中学阶段，他们的老师解一元一次方程时在黑板上分五步做，比方说解 3x + 2 = 5。第一步，两边加上 -2：3x + 2 + ( -2 ) = 5 + ( -2 ) ；第二步，改写：3x + 0 = 3；第三步，化简：3x = 3；第四步，两边除以 3：3x/3 = 3/3；第五步，化简得到解：x = 1。老师这样教是因为他们不知道 " 移项换符号 " 的便利，也没有人曾让他们像中国初中生那样可以一步到位快速完成这些简单运算并一口清地报告答案。更不用说在初中代数课堂上，老师会命令学生背诵平方差公式等最基本的代数恒等式。
到了高中学平面几何，看上去厚厚的教材印刷精美，图形五彩缤纷，文字引人入胜。然而却少了中国几何教本中的最重要内涵：推理证明。在 " 探索法学习 " 的大旗指引下，学生捧在手中的几何读本，功能几乎等同于 " 直观理解 "，似乎在 " 看图识字 "，而抛弃了欧几里得几何的精髓。这个精髓就是：通过寥寥几条公理和公设，推演出平面几何的所有命题，如三角形的内角和必定是 180 度。这个精髓引领了近代科学，把人类从愚昧中解救了出来。
这就能解释为何我讲授《高等微积分》学年课程第一学期的期中考试第一题，绝大多数修课的数学系本科生和研究生都做不出来，因为他们在高中没有受过几何证明的洗礼。而这些答不出试卷本科生中的相当一部分人将来的职业是中学数学老师。
这道题是关于一个数集的上确界和下确界，该简单数集由所有分数 1/n - 1/m 组成，其中 n 和 m 取所有的自然数。尽管我早已清楚现实的残酷，讲授确界概念时花了远超教学大纲中计划的时间，翻来覆去地举例解释上确界的定义，阐述其意思：它是给定数集的一个上界，且在该数集的所有上界中，它最小，即它是数集的 " 最小上界 "。我也用 ε- 语言刻画了上确界：数 s 为数集 A 的上确界，当且仅当 s 大于或等于 A 中的所有数，且对任意正数 ε，存在 A 中的数 a 使得 a > s - ε。
这个不等式给出 " 比上确界更小的数不是上界 " 的数学表达。自然，精确理解这些等价语言，必须具有逻辑推理的足够武功，而这套武功的最初练武场就是中学平面几何命题证明的课堂——这个练武场在美国的普通高中不知踪影。
截然不同的精英教育
但是，上述事例并不能得出美国的数学教育一塌糊涂的结论，更不能用来否定美国各地对资优教育的极端重视。美国的教育方式和它的意识形态具有相当的一致性，大体上是 " 崇尚自由 "。在学校，教师对学生的数学学习是除了必修课外，" 任君取舍 "，但对母语的训练不遗余力，因而进入大学的学生，数学可以将 1/2 + 1/3 算成 2/5，但几乎个个能说会道，绝不害羞。
另一方面，每所普通高中都有小部分高天赋学生，他们也有鸿鹄之志，对这样的好学生，学校给他们开小灶，或修大学先行课程如 "AP 微积分 "，或送到附近的大学修课。因此美国青少年中的前百分之几的聪明好学者，最终成长为改变美国甚至改变世界的领路人。
多年的观察让我早就看到，虽然美国普通理工科大学生的数学基础，和中国的同类大学生比起来弱得多，但是在诸如斯坦福大学就读的精英大学生中，许多人的数学本领强于中国名牌大学的数学尖子。但在本文，我们不讨论资优教育，仅仅着眼于从美国对普通学子数学教育的 " 失算 " 历史回顾中吸取怎样的教训。
我们需要什么样的数学教育
如上对美国中小学数学教育所走弯路以及对大学数学教育造成危害的简要描述，实际上给我们回答《知识分子》的提问 " 我们需要什么样的数学教育？" 提供了一点线索，那就是：好的数学教育应该是好的老师有效传授给学生对未来的发展行之有效的基础知识、基本技能，培养创造性思维的能力和举一反三应用所学的功夫。
更具体地说：人类千百年间发现的数学基础知识是前人留下的宝贵财产，是后人能够创新的雄厚资本。青少年阶段应该像海绵般地沉浸于此，为未来打下坚实的基础。熟练操作的基本技能是牢固掌握基础知识以便将来能熟练应用所学知识的关键，容不得有半点的虚假和讨巧。
只有在全面吸收基础知识以及对基本技能运用自如后，人们才有能力和潜质进一步从事 " 探索式的学习 "，进入更高层次的学习，乃至走向创造新知识、发明新技术之路，而不是过程相反，在缺乏基础知识和基本技能的情形下，就能轻而易举地发现新知识。这就是数学教育的逻辑所在和基本规律。
那种打着 " 探索性自主式学习 " 旗号的 " 进步主义教学法 "，教出的学生只能是知识结构残缺不全却容易好高骛远，因为他们本来就空空的脑袋不可能容易无中生有地探索出未曾学过的知识来。
