谁是世界上最孤独的数?
果壳网07-11

 

谁是世界上最孤独的数?

看到哪个数,你会觉得最孤独?

有人会说是 1,因为它孤身一人。有人会说是 0,因为它没有任何存在感。有人会说是 214,有人会说是 419(咦)。这些都是字面上的直接联想,因人而异,很难说哪个比哪个更加孤独。

然而对一个学过数学的人来说,确实存在一个最 " 孤独 " 的数。这个数就是所谓的黄金分割率 φ。许多人说它是最美的数,美不美这种事情是一个主观概念——但我们能从数学上证明,它是最 " 无理 " 的数,最难以接近的数,因而在这个意义上,是最孤独的数

图片来源:www.cosmomyth.com

越走越近,却永远不能在一起

一个无理(irrational)数有很多种表现方式。我们最熟悉的是无限不循环小数的形式,每多写下一位数,就是用一个更加精确的有理(rational)数去逼近它。当然,这个过程永远到不了尽头。

但是无理数也可以用分数的形式表现,只不过这个分数也是无穷无尽的——这就需要 " 连分数 "。不要怕,这里的全部数学只是加减乘除和通分,不超过小学五年级。

先用一个有理数作为例子:1024/137,约等于 7.47445255。

第一级近似:7,于是它变成了 7 + 65/137。

第二级近似:把第一级留下的分数倒过来,137/65 近似是 2,于是它变成了 2 + 7/65,于是开始的那个数字就变成了 7 + 1 / ( 2 + 7/65 ) 。

第三级近似:对 7/65 进行类似处理,以此类推。

最后得到的结果是

或者,省去那些多余的 1,可以表达为 [ 7; 2, 9, 3, 2 ] 。

能够证明,每一个有限的连分数都代表一个有理数,而每一个有理数能且只能表示成两种形式的连分数(要求第一个系数是整数,剩下的全是正整数)。比如上面那个数也可以表示为 [ 7; 2, 9, 3, 1, 1 ] 。除这两种之外再没有别的写法了。

同样的步骤完全适用于无理数,但这时得到的连分式就会一直延续下去。比如,π 的连分式可以表示为

或者用简化的表达式: [ 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, ... ] 。这个数列在 " 整数数列线上大全 "(OEIS)中的编号是 A001203。

一步一米,或者一步十年

使用连分数来逼近,就会遇到一个 " 逼近速度 " 的问题:每前进一步,近似值向精确值靠近了多少呢?

回到 π 的例子。我们先看第一位近似—— 7。忽略后面剩下的:

π ≈ 3 + 1/7 = 22/7 ≈ 3.142...

熟悉吗?这就是当年祖冲之发现的 " 约率 "。

如果接下来看到第三位近似 :

π ≈ 3 + 1 / ( 7 + 1 / (15 + 1) ) = 3 + 1 / ( 113 / 16 ) = 355/113 ≈ 3.1415929...

也即祖冲之的 " 密率 "。二者都是对 π 的极好的近似。

这就是连分数的一个神奇属性:当你得到一个连分数后,你就自动获得了 " 最快 " 的逼近精确值的方式。这有点违反直觉——当你用 7 作为分母的时候,最小的单位就是 1/7,那么误差范围应该是 1/14 以内吧?实际上,使用连分数获得的误差范围不是 1/14 以内,而是 1/49 以内! 22/7 - π ≈ 0.0126 < ( 1/7 ) ^2。

更一般地,假如一个无理数 α,它的某一步连分式展开后变成了 p / q 的形式,那么一定有

| α - p/q | < 1 / q^2

而且, 这一定是当前最好的精确值,任何比它更精确的分式都一定需要更大的分母。π 的前三级展开,分别是 22/7、333/106、355/113;你在 1-6 的范围内一定找不到比 7 更好的,1-112 的范围内一定找不到比 113 更好的。但是,7 却比 8、9、10 ……都要好。因此可以说,连分数在某种意义上揭示了一个无理数的深层结构。

那么回到我们开始的问题。最快的逼近速度有多快?从上面的公式可以看出来,这完全取决于连分式里具体的每个数——数字越大逼近越快,数字越小逼近越慢。祖冲之能发现约率和密率,部分原因是因为他运气好,π 开头的这俩数正好都不小,所以能给出很漂亮的逼近。

而最小的正整数,当然就是 1 了。

黄金分割率,最漫长的旅程

如果有这样一个数: [ 1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ... ]

或者,

你肯定猜到了,这就是传说中的黄金分割数 φ,1.61803398... 如果去掉前面的 1 就会得到另一个常见形式:0.618... 而这两个数正好互为倒数。从连分式这个形式就能看出来为什么。

我们试着逼近一下,得到的是

2/1 = 2

3/2 = 1.5

5/3 = 1.66666...

8/5 = 1.6

13/8 = 1.625

21/13 = 1.61538...

进行了 6 次近似,结果才到小数点后 2 位!刚才我们用 π 仅仅进行了 2 次近似,就精确到了小数点后 6 位。

(你可能注意到了,这个连分数的每一级逼近,就是传说中的斐波那契数列。为什么?你猜。)

1 是最小的正整数。因此,φ,这个全部由 1 组成的连分数,是所有数中最难以接近的数。没有之一。

孤独的数

高冷的数

独一无二的数

不可捉摸的数

许多人说 φ 是最美的数,贯穿整个西方艺术史,所有优秀的设计都要用到它。这其实是夸大其词了。很多所谓的显示了黄金分割率的图,其实只是强行把一个对数螺线罩上去而已,二者并没有什么相似之处。黄金分割率是 19 世纪才开始流行的观念,达芬奇本人从未提过;现实中大部分比例(3:2,4:3,16:9)固然和黄金率离得不 " 太 " 远,但几乎见不到精确符合它的;人体并不严格符合黄金律;如果你让艺术系的学生挑选他们眼中最美的的长方形,挑出来的长宽比并不是围绕黄金律的。一项实验表明,只要是 1.4-1.7 范围内的长方形,人们都会觉得好看。

黄金率在审美上没有什么特殊之处,我们看到的只是人们企图攀附它来寻找所谓的理论依据而已。

请问这张图里前面那个对数螺线和后面那个建筑除了一样宽之外还有几毛钱的关系?| S é bastien Bertrand

然而,自然界 " 懂得 " 它的真正含义。

想象你是一朵向日葵。你的果实和种子是在中心生长出来的,然后逐渐被 " 推 " 到外面去,过程中逐渐变大——因此传统的密堆方式(比如蜂巢那样的六边形)就不能用了。但是每长出一粒新的籽,你可以选择旋转一定的角度然后再长下一颗。

如果你旋转 90 度,也就是 1/4 个圆,结果就是这样:

因为外圈的空间比内圈大,所以有些地方你永远用不到。这很浪费空间。选择任何分数—— 1/3、1/4、2/5、3/7 ……结果都是这样,形成周期的图样,而两个周期中间的地方,总触及不到。

要想避开周期,只能用无理数。结果就是这样:

大有改善,但是还有很多缝隙没用上。毕竟,无理数是可以用连分数近似的。近似得太好的话,就和分数没有太多差别。

因此,我们必须找一个距离分数最远的、最难近似的、最无理的数,这样才不会产生周期性,才能补上中间的那些空隙。

这就是 φ。它所对应的角度,大约是 137.5 度。

这个数字必须极其精确,不然就会毁掉整个图样。往上数第二张图——那是 137.6 度,多了 0.1 而已。但自然界很明显抓住了这个数。向日葵当然不懂这背后的数学原理,但在自然选择的压力下它猜中了答案。

本系列图片来源:《一道八百年松鼠难题》by 桔子帮小帮主,下图不再一一注明

如果说 φ 里体现了美,我倒宁愿认为是它展现了自然界的一角,而不是因为似是而非的神秘主义。

不论在审美的意义上 φ 是否是一个美的数,在数学的意义上 φ 是一个高冷的数。它最为高效,然而又最难靠近,最是无理,因此,它也是最孤独的数。

而相比之下,一个人之所以孤独,则常常不是因为无理,而是因为过于理性了

作者:Ent

编辑:Calo

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ID:Guokr42

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