导语

如果让一根针在三维空间中旋转，遍历所有方向，其扫过区域的最小体积是多少？挂谷猜想看似形式简单，却已经困扰了数学家们长达半个世纪之久。如今，纽约大学的王虹与不列颠哥伦比亚大学的 Joshua Zahl 成功证明三维情形下的挂谷猜想，为一系列相关难题的解决带来了曙光。

研究领域：挂谷猜想、闵可夫斯基维数、豪斯多夫维数、调和分析、颗粒性特征、傅里叶变换、高维几何

Joseph Howlett   | 作者

耿淅耀

  | 译者

Quantamagazine

  | 来源

如果让一根针在三维空间中旋转，遍历所有方向，其扫过区域的最小体积是多少？丨 DVDP for Quanta Magazine

想象一只平放在桌面上的铅笔，尝试旋转它使其指向过所有方向，但尽可能减少扫过的面积。你可能会绕铅笔的中点旋转它，扫过的区域是一个圆。但如果能巧妙地旋转时移动铅笔，结果会更好。

" 这只是一个直线如何相交的问题，" 爱丁堡大学的数学家乔纳森 · 希克曼（Jonathan Hickman） [ 1 ] 表示，" 但其中蕴含着极其丰富的内容——和其他诸多问题有着千丝万缕的广泛联系。"

五十年来，数学家们一直在寻求三维情形下这一问题的最优解：将铅笔悬在空中，使其指向过所有方向，同时最小化划过区域的体积。这个看似简单的问题难倒了不少当代最杰出的数学家，始终是众多未解难题中的佼佼者。

如今，这场长达五十年的探索似乎已接近尾声。纽约大学柯朗研究所的王虹（Hong Wang） [ 2 ] 与不列颠哥伦比亚大学的约书亚 · 扎尔（Joshua Zahl） [ 3 ] 在预印本平台 Arxiv 上发表论文《Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions》 [ 4 ] ，成功证明了 3 维挂谷猜想——他们界定了这种运动模式的最小体积极限。

" 这个成果无需大肆宣扬，" 莱斯大学数学家内茨 · 卡茨（Nets Katz） [ 5 ] 评价道，"这可是百年一遇的数学突破啊！"

悬念升级 ：

从二维到三维的问题演变与数学关联

1917 年，挂谷宗一（S ō ichi Kakeya）提出了这个问题，但假设铅笔是无限细的。他找到了一种滑动无限细铅笔的方式，使得扫过的面积比凭直觉做圆周运动扫过的面积更小。

Mark Belan/Quanta Magazine

挂谷宗一想知道铅笔究竟能扫过多小的区域。两年后，俄罗斯数学家阿布拉姆 · 贝西科维奇（Abram Besicovitch）给出了答案：通过一组复杂的窄幅转向，理论上可以覆盖零面积。

这大致上为这个问题画上了句号，直到 1971 年——当时查尔斯 · 费弗曼（Charles Fefferman） [ 6 ] 正在研究一个看似与旋转线条无关的课题：傅里叶变换（Fourier transform）。这种基础数学工具能将任意数学函数重新表示为波的组合。在费弗曼的工作中，挂谷问题的变体版本不断出现。此时铅笔具有粗细并在三维空间中旋转。这种情况下，挂谷问题转化为——当你改变铅笔的宽度时，它扫过的空间体积会如何变化？

数学家更倾向于用稍有不同但等价的方式重新表述这个问题。与其在空间中移动一支铅笔，不如同时想象铅笔轨迹中的每一个位置。这样你会得到一个由虚拟的、指向四面八方的重叠管状结构组成的结构，这种结构被称为卡克亚集（Kakeya set）。你可以平移这些管状结构，但不能旋转它们。你的目标是构造出重叠程度最高的结构。

纽约大学柯朗研究所的王虹表示，这一证明将为数学开辟新领域。" 这个问题必须解决，" 她说。丨 Rickinasia/Wikimedia Commons

费弗曼发现，即使重叠程度最高的卡克亚集也必须得占据一定空间。这个最小体积取决于管道的粗细。数学家们用一个名为闵可夫斯基维数（Minkowski dimension）的数值来量化管子粗细与集合体积的之间的关系。闵可夫斯基维数越小，通过稍稍减细管子就能更多地削减集合的体积。

3 维挂谷猜想认为集合的闵可夫斯基维数必须为 3。这是一种非常弱的关系——例如，若将管道粗细减半，最多只能移除极小部分体积。

然而，证明这个看似弱的约束条件却难如登天。

挂谷宗一（S ō ichi Kakeya）在 1917 年提出了日后以他名字命名的问题，当时他 31 岁。丨东京大学供图

绳锯木断 ：

分步推进的证明策略与颗粒性特征突破

2022 年，在现代版本挂谷猜想提出五十周年之际，王虹与扎尔取得了重大进展 [ 7 ] 。他们遵循卡茨（Katz）与陶哲轩（Terence Tao） [ 8 ] 2014 年提出的研究框架，分析了一类棘手的卡克亚集。他们证明这类集合的维数均为 3，这个证明适用于闵可夫斯基维数以及一个相近的叫豪斯多夫维数（Hausdorff dimension）的概念。排除这一恼人的特殊类别后，他们需要证明所有其他卡克亚集的维数也是 3。

他们采用了分步推进的策略：首先研究某个狭窄的维数区间（如 2.5 至 2.6），证明不存在该区间内的卡克亚集。若能对所有区间重复这一过程，即可证明整个猜想。

幸运的是，王虹与扎尔无需从零开始。汤姆 · 沃尔夫（Tom Wolff）在 1995 年已证明：任何三维卡克亚集的豪斯多夫维数或闵可夫斯基维数都不可能低于 2.5。但研究者们需要找到一种方法，证明介于 2.5 到（例如）2.500001 之间的维数同样不可能存在。通过重复这一论证过程，他们可以将维度下限逐步推升至 2.500002，并以此类推。每次推进本质上都在证明——在如此微小的增量范围内，不可能存在满足条件的卡克亚集。

实际上，他们无需逐一繁琐地证明这数百万个增量区间的每一个。他们只需证明第一个增量，同时展示当前边界能够推导出下一个稍大的边界。此外，他们还需要证明这一推导过程无论从哪个起始点开始都成立。通过这种方式，就足以说明边界可以被逐步推进，最终达到 3 这个目标值。

与 2022 年使用卡茨 - 陶框架不同，这次他们没有现成的路线图。于是他们转向了 " 颗粒性 " 这一特殊性质。

2014 年，麻省理工学院的拉里 · 古斯（Larry Guth） [ 9 ] 证明，任何关于挂谷猜想的反例都必须具有 " 颗粒状 " 特征。在这种颗粒状集合中，存在许多微小的三维截面区域，其中大量管状结构会相互重叠。每个这样的 " 颗粒 " 厚度约为单个管子的直径，宽度是其几倍（但长度远不及原管子），并且有大量管子沿着其纵向贯穿其中。

王虹与扎尔意识到，完全避开复杂的管状结构，转而处理这些更简单的颗粒结构。他们发现，通过这种方式更容易列举并计算颗粒之间不同重叠方式的数学关系。

约书亚 · 扎尔（Joshua Zahl），不列颠哥伦比亚大学数学家，新证明的合著者。丨 Paul Joseph

即使在所有颗粒都尽可能以最大程度重叠的情况下，研究人员发现，经过任意给定点的颗粒数量也不会过于庞大。从 2.5 维的下限出发，他们成功证明这些颗粒的重叠程度无法使维度略微突破该界限。随后，他们从更高维度出发，通过相同的计算步骤将下限进一步提升。这种递进过程持续进行。

" 这就像在完善一台永动机，充满了魔幻色彩。" 陶哲轩评价道，" 他们的研究成果产出远超过初始投入。" 通过这种递推机制，研究团队最终将闵可夫斯基维数（及豪斯多夫维数）下限推至 3，成功证明了 3 维挂谷猜想。

逐梦之塔 ：

调和分析领域的里程碑与高维猜想展望

这一猜想的解决对研究傅里叶变换细节的调和分析（harmonic analysis）领域具有里程碑意义。

调和分析领域的三座重大猜想 [ 10 ] 的高塔建立在挂谷猜想之上。塔中的每一层都必须足够稳固，其上的楼层才有机会立稳。如果挂谷猜想被证伪——如果王虹和扎尔真的找到了反例——整座理论之塔都将轰然崩塌。

如今证明成立后，数学家们有望借助挂谷猜想逐层攻克这些更宏大的猜想。" 所有数学家曾经梦想解决的问题，现在都变得触手可及，" 古斯表示。

这一进程已悄然启动。王虹近期合著的另一篇论文将下一层猜想简化为更强版本的挂谷猜想，为连接两层理论迈出关键一步。

对于这个一直困在二维空间中的数学领域来说，这也是一次维度上的飞跃。" 在二维情况下，人们已经深刻理解（与 Kakeya 相关的问题）的运行机制，但我们缺乏研究更高维度的工具，" 王虹解释道，" 因此我认为这项突破是必要且必须实现的。"

四维挂谷猜想仍未解决，其上还矗立着一系列四维猜想。古斯表示，虽然未来会遇到新的困难，但他认为从二维到三维的跨越最为艰难，而王虹和扎尔的证明方法很可能可以应用于这一系列猜想，甚至推广到更高维度。

" 当我还是年轻数学家时，我为挂谷问题着迷。它看似如此简单，充满几何美感，其实际难度之高超乎我的预料，" 古斯回忆道。多年后，他的博士生王虹同样被这个数学谜题表面简单实则深奥的特性所吸引。

" 这些具体的几何对象易于想象，不像其他数学理论那样令人望而生畏，" 王虹说，" 我只是想弄明白它为何如此困难。"

如今，得益于王虹与扎尔的努力，这个谜题的答案已前所未有的清晰。" 我真心认为，这里正在孕育和涌现的关键思想，足以革新整个从此开启的领域，" 希克曼（Hickman）说，" 这是一个非常、非常激动人心的时刻。"

参考资料：

1.Jonathan Hickman:https://www.maths.ed.ac.uk/~jhickman/

2.Hong Wang：https://sites.google.com/view/hongwang/home

3.Joshua Zahl：https://personal.math.ubc.ca/~jzahl/

4. 论文地址：https://arxiv.org/abs/2502.17655

5.Nets Katz:https://profiles.rice.edu/faculty/nets-katz

6.Charles Fefferman:https://www.math.princeton.edu/people/charles-fefferman

7.2022 进展的文章地址：a significant step forward：https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/

8.Terence Tao：https://www.math.ucla.edu/~tao/

9.Larry Guth：https://math.mit.edu/directory/profile.html?pid=1461

10. 调和分析三大猜想的文章地址：rests atop the Kakeya conjecture:https://www.quantamagazine.org/a-tower-of-conjectures-that-rests-upon-a-needle-20230912/

原文地址：

https://www.quantamagazine.org/once-in-a-century-proof-settles-maths-kakeya-conjecture-20250314/

人工智能与数学读书会

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