导语
传统的短时间碰撞树展开，难以控制长时间演化中不断累积的粒子关联，尤其是重碰撞与复杂碰撞历史带来的组合增长。邓煜、Zaher Hani 和马啸引入碰撞历史分子，将粒子的完整碰撞历史编码为组合图，并把累积量的估计归约为分子计数与切割问题。通过将复杂分子拆解为可控的初等构型，切割算法能够提取足够的收敛增益，抵消碰撞历史增长造成的损耗，最终证明粒子关联在玻尔兹曼–格拉德极限下趋于零。由此，研究将玻尔兹曼方程从硬球动力学出发的严格推导，由兰福德的短时间区间推进到玻尔兹曼方程正则解存在的任意有限时间区间。
关键词：多粒子动力学、玻尔兹曼方程、累积量、分子拓扑、切割算法
王璇丨作者
邓煜、赵思怡丨审校
论文题目：NOTES ON THE LONG TIME DERIVATION OF BOLTZMANN’S EQUATION
论文链接：https://drive.google.com/file/d/1jxj88jb6ckE04rw4-snC9pvy39aON5OG/view?pli=1
发表时间：2025年10月31日
论文来源：arXiv
目录
1. 证明结构与本文大纲
1.1 fs与累积量的核心公式
1.2 问题归约至切割算法
1.3 切割算法核心目标
2. A 部分：核心公式 (KF1)、(KF2) 及其证明
2.1 团簇展开与分子展开
2.2 核心公式 (KF2) 与积分的表达式
3. B 部分：将估计问题归约为切割问题
3.1 分子计数上界与核心公式 (KF3)
3.2 切割操作与核心公式 (KF4)
3.3 初等分子与问题归约
4. C 部分：切割算法完整构造
4.1 双层简化模型
4.2 三分分类准则
4.3 简化模型 I–III 切割策略
4.4 通用多层模型归约至简化模型
5. 总结评述
参考文献
前置说明
本文对文献 [3] 中的核心思路与完整证明进行梳理阐释。整体证明框架分为三部分，相互基本独立，本文将依次展开讲解：
(a) 推导两条核心公式 (KF1)–(KF2)；
(b) 借助两条核心公式，将原动力学估计问题归约为一类名为分子的拓扑图上的纯组合切割算法问题；
(c) 构造满足要求的切割算法。
正式展开前，针对本篇讲义作出几点说明：
为直观阐释核心思想、避免陷入繁杂记号与定义的堆砌，相较于原始文献的完整证明，本文多处采用简化定义、讨论简化模型；必要处会标注原始文献 [3] 中额外存在的复杂情形。
第 2 节中，(KF1)–(KF2) 的证明思路与原始文献 [3] 表面形式不同：原文以相互作用图作为中间推导工具，本文则直接引入分子（分子由粒子线经拓扑约化构造得到），并采用这类分子示性函数，替代原文的本质上该推导逻辑与文献 [3] 完全等价，但表述更简洁，也贴合本文后续修订版本将采用的写作框架。
第 4 节对切割算法的论述较为简略。若读者需要完整细节，可参阅配套讲义文献 [4]。文献 [4] 完整给出双层简化模型下切割算法的全部定义与严格证明。后续稿件修订时，会将文献 [4] 内容新增为独立章节《简化模型下的基础模型与切割算法》。
全文共设置 18 幅示意图辅助理解概念与拓扑构造。
1. 证明结构与本文大纲
本节将简要概述全文内容，以呈现整个证明的基本结构。更精确的说明与定义将在后续相应章节中给出。 依据文献 [3] 第 1 节设定，本文采用巨正则系综，初始密度记为。整个证明的出发点是如下粒子边缘分布（或关联函数）：（1.1）
其中。
这里简记，、定义完全相同；为维粒子硬球系统对应的输运流算子。
此外，我们将长时间区间划分为若干等长的时间区间：
式中为适当选取的充分小时间步长，选取标准保证：以作为初值时，使玻尔兹曼方程的解n（t，z）在每个区间上都能以为基准时刻展开为收敛幂级数解。精确选取规则、配套近似解的分析见文献 [3] 第 11 节与本文第 5 节；本节仅需知晓充分小即可。
1.1 与累积量的核心公式
证明的第一部分，我们需要推导时刻 （满足 ）下， 粒子边缘分布 的两条核心公式：
上述公式成立的范围为粒子数满足（补充说明：）。下文我们对这两组公式逐一解释。
首先对式 (KF1) 中的记号做定义：记 ，。式 (KF1) 将时刻 的 粒子边缘分布 分解为**可因式分解项 **、**不可因式分解项 **，并附加误差项。
可因式分解项 是一个一点函数，它近似满足玻尔兹曼方程，并构成式（KF1）中的因子化部分；
不可因式分解项 是定义在指标集 (H) 上的非因子化部分，称为累积量，也是整个证明的核心研究对象。
(KF1)-(KF2) 数学归纳证明思路
（KF1）和（KF2）通过关于的数学归纳法证明。假设在时刻，对于所有，两条公式均成立；其中，的情形是平凡的。我们的目标是证明，在时刻，对于所有，这两条公式仍然成立。其主要步骤如下：
通过团簇展开，确定与中个粒子直接、间接关联的全部真实碰撞、轨迹重叠，构造第层单层分子（包含表征碰撞 C 原子、表征重叠 O 原子，定义 2.2）；
统计所有关联粒子总数，引入截断约束：单团粒子上限、单团重碰撞固定常数，保证；
将时刻粒子边缘分布代入归纳假设，拆解为低层分子求和；将与单层拼接为多层分子，完成全局重求和；
拆分分子连通分支，分离可因子项与关联累积项，推导出时刻满足的 (KF1)(KF2)；
(KF1) 误差项有两类来源：第层粒子 / 重碰撞截断、团簇展开截断，占主导的第一层误差将在第 5 节重点分析。
分子的物理对应关系（仅第 2 节有效）
低层分子记录碰撞轨迹，单层分子记录轨迹，拼接完整覆盖全时段演化。直观上分子是粒子线拓扑简化图：
C 原子、O 原子分别对应真实弹性碰撞、无速度交换的粒子线重叠；
分子边分为连接两原子的键、单端附着自由端，对应两次碰撞间匀速轨迹；
原子与边串联形成粒子线，与物理粒子一一对应。
重要区分：仅第 2 节推导时分子具备物理轨迹对应关系；第 3 节引入切割操作后该对应完全失效。阅读 3、4 节时，必须抛弃粒子、碰撞等物理概念，仅把分子视作纯抽象组合图。
图1. 碰撞轨迹向C分子结构的转换过程。每次碰撞均被转化为一个称为"原子"的顶点，两次碰撞之间的线性运动则由键表示。每个单粒子的运动轨迹均映射至对应的粒子线（右图中以不同颜色标示）。每个粒子在首次碰撞前后的状态由其粒子线的两个自由端（顶部和底部）所定义。
1.2 归约至切割算法
完成 (KF1)(KF2) 推导后，主定理证明仅需验证两条结论：
近似解无限贴近玻尔兹曼方程真实解；
对任意非空指标集，均满足；约定空集。
第一条结论仅通过对比与玻尔兹曼杜哈梅尔展开简要说明，详见第 5 节；第二条是证明主体，依赖三组核心工具。
(1) 分子计数上界 (KF3)
定义分子回路秩：图内回路秩；树结构分子，每新增一条独立回路。设分子总原子数，固定回路秩时合法分子总数满足：
C为与总层数无关普适常数，证明见 3.1 小节。
(2) 切割不等式 (KF4)
沿一组键切断分子，拆分为两个子分子、，积分满足：
完整精确形式需对固定端变量取上确界，严格推导基于富比尼定理，见 3.2 小节。
反复迭代 (KF4) 可将任意分子拆解为仅含 1~2 个原子的初等分子，递推得到积分乘积上界：
三类初等分子积分阶特性
坏分子 {4}：单个 4 度原子，四条自由端，，引入阶损耗； 注：(KF2) 前置系数可抵消至多份损耗，证明难点集中在很小的场景。
普通分子 {3}：单个 3 度原子，1 个固定端，，无增益无损耗；
好分子 {33}：两个相互连接 3 度原子，，提供关键阶收敛增益。
图2. 包含 3 个 C 型分子、、，分别对应N粒子动力学体系中的 3 个团簇。图中空心圆代表 C 原子。
1.3 切割算法核心目标
完成上述全部前置推导准备工作后，我们最终可以将主定理的证明，归约为下述纯组合估计命题：
存在一套切割序列，可将分子拆解为若干初等分子，且满足不等式：
这里说明各类初等分子的性质：型分子是带来积分损耗的坏分子，型分子是能够提供收敛压制增益的好分子，其余类型分子为中性分子。
若不等式 (KF5) 成立，结合公式 (KF2)、(KF3)、式 (1.2)，以及前文 1.2 小节 (i)–(iii) 给出的各类初等分子积分估计，记为原子总数为m、回路秩为的全体分子构成的集合，我们可以推导出累积量的范数满足：
针对固定原子数m、固定回路秩的分子集合，对所有分子积分求和的上界推导过程如下：
分子总数
对所有满足的参数求和后，该级数收敛；存在常数，整体求和结果可被控制，当时该项趋于 0。
如上所述，完成上述推导即可完成主定理的证明。在文献 [3] 中，这套论证出现在命题 5.3 的证明内，该证明依赖命题 6.15，命题 6.15 紧随文献 [3] 中命题 6.15 的正文陈述之后。
因此，当前我们只需构造一套满足不等式 (KF5) 的切割序列，这也是证明第三部分的核心目标（详见文献 [3] 第 10–11 节）。我们将在第 4 节中，基于多套切割算法详细讲解该切割序列的构造方法。
2. A部分：
核心公式（KF1）和（KF2）及其证明
本节完整严格推导两条核心公式，分子积分 的精确定义见式 (2.16)。整体证明分为两大模块：
基于数学归纳法证明 ，同步推导出累积量的一般分子展开式 (2.15)；
依托累积量展开式，严格推导 范数估计公式。
本文分子定义逐层递进：先构造仅含碰撞 C 原子的基础 C 分子，再引入 O 原子构造单层一般分子，最终通过跨层拼接得到多层分子。
图3. 以O原子（实心黑点表示）连接图 2 中的两个 C 型分子、，由此得到两种一般分子示例。第一个示例中：内的绿色粒子线，在与蓝色粒子线发生碰撞之前，就和的品红色粒子线重合。第二个示例中：的蓝色粒子线，在其两次碰撞的区间内，与的品红色粒子线重合。
2.1 团簇展开与分子展开
2.1.1 截断动力学规则
对每一层时间区间 ，引入 双重截断规则，其中 ， 为固定大常数，具体约束条件如下：
任意连通团簇内的总粒子数量不超过 ；
单个团簇内的重碰撞总次数不超过 。
物理释义：当两粒子间距缩小至 形成预碰撞构型时，若该碰撞违反上述任意一条截断约束，则粒子不发生弹性碰撞，保持匀速直线运动、速度不变；若满足约束条件，则发生标准硬球弹性碰撞。
相关定义： 团簇：截至当前时刻 ，通过碰撞相互连通的极大粒子集合； 团重碰撞计数：，其中 为团内总碰撞次数， 为团内粒子总数，用于表征粒子连通结构外的重碰撞数量。
基于截断规则，可将原始边缘分布拆分为截断动力学主项与截断误差项：
其中 为截断动力学对应的边缘分布，对应的流算子为：
为第 层独立的截断流算子；全部截断误差 统一归入 的全局误差项 中，本节仅分析核心主项 。
2.1.2 第一步：团簇展开与 C 分子
仅包含碰撞顶点的基础拓扑图称为 C 分子，由粒子运动轨迹拓扑约化直接生成，是最基础的分子结构。
定义 2.1（C 分子）
C 分子为分层无向拓扑图，图中顶点称为 C 原子，边分为两类：
键：用于连接两个 C 原子，按时间分层绘制，下层原子对应碰撞前轨迹，上层原子对应碰撞后轨迹；
自由端：单边悬空端点，分为底端自由端（初始端）与顶端自由端（终止端）。
结构约束：每个 C 原子恰好连接 2 条下边、2 条上边；所有边可划分为互不相交的粒子线，每条粒子线从底端自由端向上延伸至顶端自由端。若同一原子的一条上边、一条下边归属同一条粒子线，则称这两条边为串行边。
C 分子构造规则：
单个 C 原子一一对应一次两体粒子弹性碰撞；
单条分子边对应两次相邻碰撞之间的粒子匀速运动轨迹；
按时间时序分层绘图，后续碰撞的原子绘制于上层，通过键区分碰撞前后的粒子线；
整条完整粒子线对应单个粒子在时段内的全部运动轨迹；
同一原子的串行边统一归属同一条粒子运动轨迹。
粒子的完整运动轨迹可唯一拆解为若干 C 分子连通分支，每个连通分支与一个团簇一一对应。
示性函数定义：：粒子线拓扑约化为分子 ；：分子 与 对应的团簇无碰撞、无关联。
团单位分解恒等式
式中求和遍历所有有限不交 C 分子集合，本质等价于对系统团簇的完整划分。
将截断流算子代入全粒子分布，可得：
其中 为仅保留分子 内部粒子演化的流算子。
图4. 左侧为通过O原子将多个团簇 / C 型分子拼接而成的一般分子（该构造是彭罗斯论证的产物）；右侧是其对应的团簇图（该图为森林）。此处F仅为单棵树，三个节点分别对应三个团簇，三者沿用图 2 中的 C 型分子。只需删除一般分子内全部O原子，并将O原子处两段串联的边直接相连，即可还原出上述 C 型分子；图中虚线框标注了该还原操作。
2.1.3 第二步：O 原子与一般分子结构
为处理团簇无关联示性函数的乘积项，需要引入彭罗斯包含 - 排除展开，由此新增表征粒子线重叠的 O 原子结构。
定义互补关联示性函数：，以两个分子为例，展开关系为：
公式第二项的支撑集对应：两团簇轨迹间距降至 量级，但未发生真实碰撞的轨迹重叠状态，式中负号对应玻尔兹曼损失项。
所有轨迹重叠构型，均可拆解为含 O 原子的新分子求和形式：
求和遍历所有通过插入单个 O 原子、拼接 得到的一般分子。
图5. 层分子与下层分子的拼接规则。的底端端点对应集合内的粒子，的根粒子集合满足。我们只需将的底端端点，与中对应内同一粒子的顶端端点相连，即可形成一条连接层原子与层数原子的键。本文后续所有图示统一遵循如下配色规则：若无需区分全部粒子线，则不为每条粒子线单独配色，将色彩预留作其他用途（本图中色彩用于区分H、内粒子线）。
定义 2.2（含 O 原子一般分子）
一般分子继承 C 分子的基础分层图结构，顶点分为两类：C 原子（对应真实粒子弹性碰撞）、O 原子（对应粒子线重叠、无速度交换）。选取两个不同 C 分子的任意边 ，插入 O 原子作为交点，即可将两个独立 C 分子连通为一个整体；该拼接操作可重复迭代，构造复杂多层分子。
定义 2.3（分子团图）
删除一般分子中全部 O 原子，合并被截断的串行边，可得到若干互不连通的 C 分子分支 。基于分支构造分子团图 ：以每个 C 分子分支为顶点，若两个分支之间存在 O 原子连接，则对应顶点边。
2.1.4 第三步：彭罗斯森林展开
对团簇无关联示性函数的乘积项做包含 - 排除展开：
其中 G 为以 C 分子集合为顶点的所有简单图；重排求和后可仅保留无圈森林结构 F，化简得：
森林 F 的顶点为部分 C 分子子集，且必须包含所有根团簇；余项 满足约束：
其中 仅由森林 F 内部的粒子初始构型决定，与外部粒子无关。
积分消去系统大数 与无关粒子自由度前，先对森林展开余项做精细化分解与阶数估计。定义森林对应的分子关联构型求和，对任意无圈森林 ，其关联约束可拆解为不交分子分支与关联耦合项，满足：
式中 为森林 对应的所有合法耦合一般分子，求和遍历由O原子拼接、C分子分支构成的全部多层关联分子构型，完整刻画森林对应的粒子关联体系。
基于分子截断规则的重碰撞与粒子数约束，可对森林项做统一阶数压制估计，得到森林余项的尺度界：
该式表明：森林的边数量 越多、粒子虚拟关联耦合越复杂，对应余项的小参数阶数越高，关联贡献被快速压制，保证高阶关联项可积可忽略。
对所有合法无圈森林做全域求和，完成包含-排除展开的最终化简，得到团簇无关联示性函数乘积的最终展开式：
该式彻底将原始复杂关联乘积项，转化为多层耦合分子的离散求和，消去了图空间求和冗余，是后续单层分子积分化简的核心前置恒等式。
积分消去系统大数 与无关粒子自由度后，代入式(2.10)的森林化简结果，最终得到单层分子的核心积分表达式：
符号释义：：分子包含的全部粒子线集合；：根粒子集合，即原始待研究的 个目标粒子；：分子内所有 C 分子流算子的乘积。
对s粒子边缘分布做平均场分解，将关联部分剥离为累积量，得到平均场主项表达式：
其中 表示 个粒子的独立平均场张量积， 为 粒子累积量，刻画粒子关联偏差。
将平均场分解代入单层分子积分，分离平均场贡献与关联累积贡献：
式中第一项为无关联平均场演化项，第二项为粒子关联对应的累积修正项，为后续累积量递推展开的核心铺垫。2.1.5 第四步：平均场项与累积量拆分
将 时刻的归纳假设结果代入式 (2.11)，对 做分解，可将整体项拆分为两类核心贡献：
单点平均场项（单根粒子分子）：对应无粒子关联的平均场演化，是玻尔兹曼方程的主导解；
关联累积项（多根 / 跨层分子）：对应粒子间关联效应，是需要被压制的高阶小量。
最终推导出累积量的单层展开表达式：
求和约束 ：分子的每条连通分支，必须至少包含两条根粒子线，或连接下层累积关联粒子 。
2.1.6 第五步：多层分子与累积量完整展开
多层分子拼接规则：将第 层单层分子 与多层分子 拼接，把低层分子的顶端自由端与当前层分子的底端自由端合并为跨层键，构造多层分子 ；多层分子的根粒子继承顶层粒子集合，即 。定义 为粒子 首次出现的演化层数。对应的全局流算子为：。
通过逐层递推，得到累积量的全局完整展开式：
式中求和遍历所有层数不超过 的合法多层分子，至此核心公式 推导完成。
多层分子四大基础性质（切割算法核心前提）：
(a) 分子分层结构为 ，记每层根粒子数 ，约定初始层 ；
(b) 跨层粒子重合性：；
(c) 层内连通性：每层的任意粒子线，均在本层连通至少一条根粒子线；
(d) 根粒子关联性：每层根粒子线，要么在本层互连，要么与下层根粒子线关联。
图6. 满足 2.1.6 小节 (a)–(d) 全部性质的三层分子示例。红色边属于根集合对应的粒子线，直观代表这些粒子线向上延伸进入层；蓝色、绿色边同理，分别对应、（注意不同根集合可存在共用粒子线）。集合由根粒子集合、以及内带有顶端端点的所有粒子线共同构成。直观理解：2 条红色根粒子（）在内的动力学演化共产生 5 条粒子线，构成；其中 3 条蓝色粒子（，可与红色轨迹部分重合）向上延伸进入。这 3 条粒子在内演化后共生成 5 条轨迹，构成；其中 2 条绿色粒子（）延伸进入，以此类推。可直接验证 2.1.6 小节的 (a)–(d) 四条性质；此外，任意一条跨层粒子线，都会与下层另一条跨层粒子线连通。
2.2 核心公式 (KF2) 与分子积分 表达式
2.2.1 分子积分完整定义式
符号说明：：分子全部边的集合；：分子全部原子的集合；：分子边对应的相空间位置、速度变量；：原子对应的碰撞 / 轨迹重叠时刻；：分子所有底端边的集合。
时序约束域
e1,e2 为为原子的两条下边， 为原子的两条上边，两两构成串行配对关系。
2.2.2 原子狄拉克约束分布
1. C 原子（真实弹性碰撞约束）
2. O 原子（轨迹重叠、速度不变约束）
式中单位法向量：，截断算子定义 。
2.2.3 单原子积分验证式
对任意非负测试函数 ，时间区间 ，单原子积分满足：
其中 为碰撞示性函数， 为粒子碰撞后的相空间坐标， 为碰撞发生时刻。
（KF2）推导总结
对累积量展开式 (2.15) 两侧取 范数，对所有根粒子变量完成积分；通过恒等式 精准匹配 前置系数 ，所有狄拉克约束积分等价于分子碰撞构型的发生概率积分，最终严格证明核心公式 。
图7. 设为取最大值的层，且集合H满足。所有向上延伸进入层的条粒子线，各自都与下层另一条同类跨层轨迹相连；同时，这些粒子线全部与上层的集合H连通。该拓扑结构共生成条独立回路，且回路秩满足。
3. B 部分：归约至组合切割算法
在完成 (KF1)–(KF2) 的推导后，我们剩余的目标是估计 (KF2) 右侧的求和项 。注意：全部内容现在都完全依托分子 及其配套定义展开（例如分子积分 的定义见式 (2.16)）。因此从现在起，我们将只使用分子相关概念，彻底抛弃粒子、碰撞轨迹等物理图像。具体约定如下：
不再使用 "碰撞""重叠" 等词汇，改用 C 原子、O 原子；不再统计 "重碰撞次数"，改用回路秩（即分子 中独立回路的数量）。
在第 2 节中，我们已经将（物理）粒子与分子内（抽象）粒子线一一对应，二者共用记号 。从现在起我们不再提及任何物理粒子，记号 仅指代定义 2.1 中给出的粒子线。
下文证明中会用到的分子核心组合性质是 2.1.6 小节末尾给出的 (a)–(d)，这些性质也完全依托粒子线等分子相关概念给出。
本节将说明：对求和项 的估计问题，可以等价转化为分子 上的切割算法问题。为聚焦核心概念，我们做出如下简化假设：
简化假设
假设根粒子集合规模远小于分子内回路秩 ，即 ；若满足 ，证明会更简单 —— 因为 的表达式自带系数 （见 (KF2)）。
假设分子 的每一层单层子分子 都是树（无回路）。对于一般情形，我们需要在下文 的表达式中额外增加项 ， 代表所有层内带回路的 C 分子总数（即 "存在重碰撞的团簇"）；截断规则保证每个这类分子最多产生 次重碰撞。当 时证明易处理；当 时可归约为 的树情形，仅需额外一层分层细分操作，详见 4.4 小节。
图8. 分子切割操作流程：对分子的两处键执行切割，得到两个子分子与。中每一条被切断的键都会生成两个端点：上为自由端点，上为固定端点（红色叉号标记）。此种情形下，我们称从原分子中被自由切分，被固定切分。
3.1 分子计数上界 (KF3)
本节证明 (KF3)，完整证明见文献 [3] 命题 6.12。
步骤 1
回顾分子 的各分层 、集合 、，记号 同 2.1.6 小节。第一步需要证明：其中回路秩（独立回路总数） 对应的等价常数可能依赖 。
证明思路：
方向：每层分子本身是森林，跨层键的数量为 （每条跨层键必然属于某一层的根粒子线 ），且每新增一条跨层键，回路秩至多增加 1。
方向：选取 使得 取最大值。反复使用 2.1.6 小节末尾性质 (c)，结合性质 (b) ，可知 内所有粒子线，在高层 及以上均可连通 内的粒子线；特别地，这些粒子线至多可划分为 组，每组粒子线在高层相互连通（当 取 1、2 这类小数值时直观性最强，见图 7； 的一般情形结论不变）。 另一方面，反复使用性质 (d)，必要时再叠加性质 (c)，可证 内任意一条粒子线，都能在 及更低分层内与同集合另一条粒子线连通。如图 7 所示，该拓扑结构至少生成 条独立回路，由此得到下界估计。 完整证明见文献 [3] 引理 6.11；在我们的简化模型下满足 ，仅需基础计数论证即可完成。
步骤 2
设分子 的总原子数 ，截断规则限制 ；回路秩仍为上述 ，则此类分子的总数满足上界：第一个常数 与分层总数 无关，第二个常数 与分层相关，下文忽略这类次要细节。 证明依托分子的构造过程：每一层 都是森林（每个原子度数 ），已知这类森林的总数存在指数上界 。之后按照 2.1.6 小节的方式拼接各层 得到一般分子 ；拼接时需要匹配至多 个顶端 / 底端端点（见图 5），因此匹配选择数至多 。 以上结论证得 (KF3)。
3.2 切割定义与 (KF4)
本节定义切割操作并证明 (KF4)。我们结合图 8 的简单分子举例说明；由于切割操作基本都是局部操作，推广到一般分子无需额外复杂步骤。
我们先做简化假设：分子 仅包含 C 原子。若分子存在 O 原子（以及 O 原子链），切割定义需要小幅修改。原因是：在 O 原子处，固定某条边 的变量 会自动固定其串行边 的变量 （见式 (2.16)，尤其是式 (2.19) 中的狄拉克 δ 函数），因此串行边必须整体处理。为解决该问题，需要引入 OV 线段等概念，存在 O 原子时切割定义需要微调。此处不展开，详见 4.4 小节的讨论。
无 O 原子情形下切割操作定义
设 为任意分子， 为原子子集。将子集 做自由端切割：把所有连接 、 的键，在 端点改为自由端，在 端点改为固定端。 示意图见图 8：图中的分子经切割后拆分为两个更小的子分子 、，其中 仅含单个原子， 含两个原子。
(KF4) 严格表述
采用上述切割操作，(KF4) 可精确表述为：若将分子 切割为 、，则为固定端对于带有固定端的子分子 ， 的定义沿用式 (2.16)，仅两点修改：不对固定端 对应的变量 积分；统计边集合基数 时不计入固定端（下文会说明理由）。
式 (3.1) 证明
首先：切割不会改变式 (2.16) 的前置系数。分子总原子数 不变；每条断键拆分为 1 个自由端 + 1 个固定端，不计固定端时 的数值不变。因此仅需处理积分部分，利用富比尼定理即可完成证明。
若键 e 被切断为自由端 、固定端 ，满足变量绑定 ；由富比尼定理，原积分可拆分为：
其中 对应子分子 ，统计边时不计固定端；为简化书写，我们将式 (2.16) 中的 项替换为 1（ 有界，该简化可通过简单放缩完成，见注释 8）。3. 注意 不含 的固定端；内层积分中， 固定端 e 对应的变量 由 内对应的自由端唯一确定。对所有固定端变量取上确界，可得：
由定义，上式恰好就是式 (3.1)。
3.3 初等分子与递推估计
如 1.2 小节所述，我们对分子 连续执行切割操作，可将其拆分为有限个初等分子，共四类：、、、，示意图见图 9。结合 (KF4) 以及推论式 (1.2)，我们只需要分别估计每一类初等分子的积分 ，各类分子说明如下：
{2} 型分子：仅含 1 个二度原子（度数定义：统计键与自由端数量，不计固定端；因此该原子带有 2 条自由端、2 条固定端）。规定两条自由端必须同为底端或同为顶端，不满足该条件的 {2} 型分子不予考虑（该约束对第 4 节的算法至关重要）。 该类分子积分满足：对任意固定端变量 ，一致有界 。
{3} 型分子：仅含 1 个三度原子（1 条固定端、3 条自由端）。是切割算法中出现频率最高的分子。 该类分子积分满足：对任意固定端变量，一致有界 。
{4} 型分子：仅含 1 个四度原子，无任何固定端。是积分损耗的主要来源，积分满足：
{33} 型分子：两个三度原子通过单键相连；每个三度原子额外带有 2 条自由端、1 条固定端。是抵消损耗、提供收敛增益的核心构型，积分满足：（ 的正幂次，天然带来压制增益，见注释 9）。
图9. 初等分子。 红色叉号代表固定端点。第一张图为 {2} 型分子，拥有两个固定端点（可全部位于上端或全部位于下端）；第二张图为 {3} 型分子，带有一个固定端点（该端点可在任意一端）；第三张图为 {4} 型分子，无任何固定端点；第四张图为 {33} 型分子，包含两个相连原子，且每个原子恰好各带有一个固定端点。
4. C 部分：切割算法
我们从满足 2.1.6 小节末尾 (a)–(d) 核心性质的多层分子出发，对其执行一套切割序列，将拆分为若干初等分子。结合式 (1.2)、3.3 小节的积分估计与 1.3 小节的证明，我们只需证明核心公式 (KF5)，即：
存在一套合适的切割序列满足上式；其中回顾 3.1 小节结论。式 (4.1) 的证明需要多套切割算法，这也是本节的核心内容。
正式展开前，先梳理分子与切割操作的基础预备结论：
若，我们将其称为（子）分子：把与之间所有边，在一侧统一视作自由端。另外，一旦切割分离出任意连通分支，后续切割算法中将不再考虑，仅对剩余分子操作。
原子层级定义：若原子与由键相连，且在上层，则称是的父原子；反之称是的子原子。若反复向上取父原子能从抵达，则称是的后代；若反复向下取子原子能从抵达，则称是的祖先。该层级关系具备单调性：反复取父 / 子原子无法回到起点，不存在循环。
若将原子做自由端切割：的每一个父原子（若存在）会生成一条底部固定端；的每一个子原子（若存在）会生成一条顶部固定端。另外规定：任意原子最多拥有 2 个父原子、最多 2 个子原子。
4.1 双层简化模型
一般分子切割算法的核心思路，全部包含在简化双层分子模型中。我们对双层分子作出四条约束：
分子不含 O 原子，暂不考虑各类简并情形（详见 4.4 小节）；
为双层分子，记作，代表上层、代表下层；
与均为无固定端的树结构；且下层内不存在原子是上层原子的父原子；
上层中与下层原子通过键相连的原子总数至少为回路秩。
双层分子对应累积量的计算过程，是短时区间之外首个非平凡构型。此外，任意层多层分子的处理难度与双层模型无本质区别，仅额外增加一步分层筛选操作，详见 4.4 小节。图 10 给出了下文讨论中会用到的若干双层分子示例。
图 10. 简化模型示例。左上：简化模型 I（）；右上：增强型简化模型 I（满足连通分支数）；左下：简化模型 II（满足连通分支数）；右下：简化模型 III（满足双连通结构数量）。蓝色键用于连接上层分子与下层分子；橙色原子代表集合X内原子，粉色原子代表双连通结构；粉色圆点表示可重复的拓扑单元。
4.2 三分分类指标
上一节定义的双层分子，其切割证明本质是三种极端场景的插值，由此引出证明核心的三分类框架。三类场景分别对应一套简化模型，由上层、下层的拓扑性质区分，每一类都需要专属切割策略。
三类场景的划分依据以下两个判定条件：
统计上层中通过两条键分别连接下层两个原子的原子集合，该集合规模相对是大还是小？
取上层中至少有一条键连通下层的所有原子：这些原子能否仅依靠彼此连通（不借助上层其他原子）？还是会被上层其余原子分隔开？
上述两个判定条件的作用会在后文说明。为方便书写，做如下记号约定：
将条件 (1) 中 "同时连向下层两个原子" 的上层原子称为双连接原子，记其总数为 ；
定义条件 (2) 的原子集合为 （显然 ）；记集合 的连通分支数量为 。
图 10 中的四类示例分别对应下文模型 I、I+、II、III，由上述两个判定条件的不同结果区分。严格定义四类双层分子模型：
模型 I：无双连接原子（），且；
模型 I+（I 加强版）：无双连接原子（），且连通分支数满足 （无双重连接，集合 连通分支少）；
模型 II：无双连接原子（），且连通分支数满足 （无双重连接，集合 连通分支多）；
模型 III：双连接原子数量充足，满足 （存在大量双连接原子）。
我们将基础模型拆分为 I 与 I + 两类，仅为简化推导表述。一般双层分子可直接由上述四类模型插值得到；若满足 ，处理方式与模型 I、II 相近，仅需额外一步消除双连接原子的操作，详见 4.4 小节。下文将分别针对四类模型给出专属切割策略。
4.3 三类简化切割策略
本节分别给出每类模型的切割算法思路，完整算法步骤与严格证明见文献 [4]。
4.3.1 基础模型 I
模型 I 的核心思路：在上层中执行基础切割算法，始终选取上层最底层原子切割；随后立刻对下层执行贪心算法，一旦下层出现型分子就立刻拆分提取。该启发式算法流程如下，示意图见图 11。
图 11. 简化模型 I 算法（应用于图 10 示例）。遵循 4.1 定义给出的算法规则，每一步切割红色方框标注的原子，生成固定端点；待切割的初等分子类型标注于图右上角。
定义 4.1（模型 I 切割算法）
每一轮选取上层中位置最靠下的原子，对做自由端切割；
若该切割操作在下一层生成一对相邻三度原子，立刻将二者做自由端切割，拆分出一个初等分子（后文简称 "下层出现构型"）。技术层面还需补充一种情形：下层两个三度原子中间隔一个四度原子，对应分子，该构型可进一步拆分为一个与一个分子，暂时可忽略该细节。重复本步骤，直至下层不存在或构型；
返回步骤 (1)，选取上层下一个最底层原子循环操作；
上层所有原子全部切割完成后，逐个切割下层原子；若某次切割后下层生成或构型，立即跳转至步骤 (2) 拆分提取，随后继续切割下一个原子。
该算法的精确描述、以及其能证出式 (4.1) 的完整证明，见文献 [4] 第 1.1 小节。下文仅结合图 11 示例直观说明算法，并阐释核心设计思路：
固定选取最底层上层原子的原因：全程保证上层不会生成顶部固定端。原因是：切割最底层原子时，该原子在上层内部无下层子原子，切割后不会在上层产生顶部固定端。该类约束统称为单调性性质，在后文推导中起到关键作用。单调性约束的意义是：保证切割过程不会生成非初等分子。仅有的单原子非初等构型是同时带顶部、底部固定端的 1 度 / 2 度原子，而单调性约束可以完全规避这类构型。
基础算法缺陷与可控性：直接切割最底层原子存在弊端 —— 若该底层原子是 4 度原子，会生成损耗型坏分子。但对模型 I 可证明：上层最多仅有一个最底层原子（注释 10，示意图见图 12，完整证明见文献 [4]），因此坏分子带来的损耗可以被控制。
整体设计逻辑： (i) 持续切割上层最底层原子，维持单调性约束，避免上层生成违规非初等分子（我们不依靠上层提供收敛增益）； (ii) 只要下层出现增益构型，就立刻拆分提取，从下层获取压制增益。 最终所有连接上下层的键都会产生收敛增益，全部增益都能通过下层的拆分操作捕获。
图 12. 集合X（若为增强型简化模型 I，则指代）单连通分支示意图。每个连通分支存在唯一最低位原子（红色标识）；其余原子只能通过父节点由该红色原子逐层构造，所有原子均必须存在一条连接下层分子（蓝色标识）的键，且任意原子最多只能拥有两个子节点（不存在第三个子节点）。
4.3.2 基础模型 I+（I 加强版）
模型 I + 可看作模型 I 的拓展版本，下层的贪心提取算法（即模型 I 算法的步骤 2）完全通用，二者区别仅在上层的切割规则： 模型 I 的关键优势是上层至多一个最底层原子，能限制坏分子数量；但模型 I + 的上层可能存在多个最底层原子，直接套用 "切割最底层原子" 的基础算法会产生大量损耗，因此调整规则：每一轮优先选取度数为 3 的最底层原子，由此带来三处规则改动： (i) 若选取的 3 度原子并非全局最底层（仅在所有 3 度原子中位置最低，其下层存在 4 度子原子），切割会在上层生成顶部固定端。但该固定端仅出现在的子原子及后代原子上，且这些后代原子不会生成底部固定端（由定义，切割前这些子原子均为 4 度）。记为及其全部后代原子构成的集合。 (ii) 随后由高层至低层依次切割的所有后代原子，全程保证内部不存在底部固定端。因此 4.3.1 小节 (1) 的单调性条件更新为：集合外部无顶部固定端，集合内部无底部固定端。
基于上述思路，我们对模型 I 上层基础切割步骤（步骤 1）做出修正，得到UP 算法。该算法满足更新后的单调性约束，不会生成违规非连通分支，同时最大限度减少损耗型分子的数量。
图 13. UP 算法图示。与前文图示标注规则一致：红框标记下一步待切割原子；绿框标记集合内原子（详见 UP 算法步骤 1），该部分原子将在切割原子n之后执行切割。特别说明：若原子n与其父节点（或子节点）共同构成一个 {33} 型分子，则二者必须同步切割，详见 UP 算法步骤 2。
图 14. UP 算法单调性性质示意图。左图：在步骤 1 选取原子n时，集合外部不存在上端固定端点，且内部也无任何固定端点（即该集合内所有原子均为 4 度原子）；右图：切割中层级最高的剩余原子m时，仅会在内部生成上端固定端点，在外部生成下端固定端点。
4.4 推广至一般分子（简化模型的补充拓展）
最后简要说明：将多层分子归约为上述四类双层简化模型，需要补充以下四类额外处理步骤：
1. 含 O 原子的修正
实际分子可能包含 O 原子，这会改变切割操作的定义：原本的键被OV 线段替代，OV 线段是一段 O 原子链，用于分隔单条粒子线中的两个 C 原子。我们需要将父 / 子原子、连通分支等原有概念，全部平移适配到 OV 线段上，定义 OV 父原子、OV 子原子、OV 连通分支等新概念。这套概念转换过程繁琐，但不会改变证明的核心逻辑。
2. 分层筛选（多层→双层转化核心步骤）
要将多层分子简化为双层模型，必须执行分层筛选操作：
选取层数，该层满足取最大值；由 3.1 小节证明，内所有粒子线可通过层相互连通；
再选取最高层，使得大量上述粒子线可通过之间的各层相互连通。 该选取方式保证绝大多数重碰撞都发生在层，我们仅需单独隔离、两层（附带两层间的关联原子集合），即可将原多层问题完全简化为双层模型，且保留全部关键估计信息。
3. 分层细分操作
前文默认分子的每一层单层子分子都是树 / 森林；若某一层内部存在回路，我们可将该层拆分为至多条细分层，每条细分层内部无回路。其中是重碰撞截断阈值，保证每层内任意团簇最多包含条回路 / 重碰撞（该描述可完全依托分子拓扑定义，不依赖物理图像）。拆分后即可对每条细分层执行前文分层筛选、四类简化模型分析。
4. 简并情形处理
当部分边对应的向量满足额外约束时会出现简并，这类约束会削弱分子带来的增益。分两种情形处理：
简并数量远小于回路秩：简并带来的损耗可忽略，直接沿用标准切割算法；
简并数量充足：采用一套更简单的替代切割序列，绝大多数原子直接拆分为分子；大量额外约束会在积分过程中提供额外增益，足以抵消损耗。
5. 预处理步骤
分层筛选的切割流程会在最终双层分子中引入固定端；同理，双层模型满足时，我们需要预先切割所有双连接原子，该操作同样会生成固定端。 为处理这类新增固定端，需要增加一步前置预处理：提前清除下层内所有、分子。该预处理流程操作直观，完整细节见文献 [3] 定义 11.8–命题 11.9。
5. 总结评述
本节笔记最后针对文献 [3] 第 12、13 节内容给出两点补充说明。
公式 (KF1) 中的误差项，以及动力学截断带来的误差
动力学截断操作会对每层中的每个团簇，分别用限制粒子总数、用限制重碰撞次数；该截断会在式 (2.1) 中引入误差项。 当原始演化流在某一时刻偏离截断动力学的演化规律时，就会产生该误差：偏离的触发条件是某一团簇的粒子数，或是团簇内重碰撞次数。
处理该误差的核心思路：考察首次出现偏离现象的分层区间。在偏离发生前的时刻，可通过前文同一套证明完成良好控制；随后在分层内，我们对动力学做截断，直至首次出现偏离的时刻。此时生成的分子对应的团簇满足：粒子规模介于与之间（该情形易于处理），或是重碰撞次数介于与之间。
对及更早分层的分析过程与上述逻辑完全一致；我们仅需单独分析分层，最终核心只需证明下述结论：
若某个团簇包含至少**条回路 / **重碰撞，则我们能得到增益项，其中满足时（见注释 11）。
上述结论的主要难点场景：一小群粒子相互间距仅为量级，会在时长内产生大量重碰撞。处理该场景需要引入新的工具：基于粒子数量给出碰撞总次数的绝对上界，该结论由 Burago–Ferleger–Kononenko 完成证明。 核心逻辑：只要充分大，这次重碰撞必然涉及足够多的粒子；借助适配的切割算法，每新增一个粒子都能生成一组型分子。这套算法借鉴了文献 [3] 第 10–11 节的思路，可从这个高重碰撞的单一团簇中提取出所需的收敛增益，完整推导见文献 [3] 第 13 节。
文献 [3] 第 12 节的相关分析
如式 (2.13) 所述，的展开式仅包含单根粒子的分子。这类分子不一定是树结构，但即便存在回路，我们也能借助基础切割算法（即 UP 算法）证明其贡献为低阶小量。因此可将问题归约为：式 (2.13) 中所有分子均为树结构的情形。
此外，文献 [11] 中首次发现一项完全抵消性质：非二叉树结构的分子贡献会相互抵消、整体消失。 对于剩余的主导阶分子（全部为二叉树），其贡献可以逐项一一对应玻尔兹曼方程以为初值、迭代时长的演化结果。通过数学归纳法，对全部，我们可以用玻尔兹曼方程的解近似。
左：图 15. 4.3 定义中增强型简化模型 I 算法（上半段，应用于图 10 示例）。相较于图 11，新增绿框标注集合中的原子（详见增强型简化模型 I 算法步骤 2），该部分原子将在切割原子n之后再切割。
右：图 16. 增强型简化模型 I 算法（下半段）。本步骤选取的下一个原子n并非上层分子内唯一的 3 度原子，而是其下方属于集合X的原子，详见增强型简化模型 I 算法步骤 1。该操作会新增一处 {4} 型分子带来的积分损耗，但总损耗上限由连通分支数约束。算法最后依次切割中两个 2 度原子、中两个 3 度原子，完成全部切割流程。
左：图 17. 简化模型 II 算法（应用于图 10 示例）。首先将整个下层分子自由切分；随后每一步选取一个连通、无下端端点的子集A，该子集恰好包含两个 3 度原子（详见简化模型 II 算法步骤 1）；对子集A全部原子执行 UP 算法切割（UP 算法操作参考图 13），重复迭代直至完成。注意：每执行一次 UP 算法，必然至少生成一个 {33} 型分子。
右：图 18. 简化模型 III 算法（应用于图 10 示例）。本算法在下层分子中执行 DOWN 算法，DOWN 是 UP 算法的对偶版本：在 UP 算法步骤 1 中改为选取层级最高的 3 度原子（而非最低），步骤 2 改为选取层级最低的剩余原子（而非最高），其余规则对偶调整。绿框标记集合内原子（即原子n的所有祖先节点）；当下层分子内原子n与上层分子内原子m构成 {33} 型分子时，二者同步切割。最终可见每一处双连通结构（粉色原子）都恰好归属于一个 {33} 型分子，满足设计目标。由于增益量已足够，剩余部分可分别在使用 UP 算法、使用 DOWN 算法切割为初等分子。
[1] T. Bodineau, I. Gallagher, L. Saint-Raymond. Cluster expansion for a dilute hard sphere gas dynamics. J. Math. Phys. 63 (2022), 073301.
[2] T. Bodineau, I. Gallagher, L. Saint-Raymond. Statistical dynamics of a hard sphere gas: fluctuating Boltzmann equation. Ann. of Math. (2) 198 (2023), 1047–1201.
[3] Y. Deng, Z. Hani, X. Ma. Long time derivation of the Boltzmann equation from hard sphere dynamics. arXiv:2408.07818.
[4] Y. Deng, Z. Hani, X. Ma. The toy models and algorithm in simplified case. 未出版讲义.
[5] M. Pulvirenti, S. Simonella. The Boltzmann-Grad limit of a hard sphere system. Inventiones Math. 207 (2017), 1135–1127.
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