作者钱江

编辑山茶

有界 Unknown 原创

一夜之间，OpenAI 扔出一个让数学界炸锅的消息。

一个困了数学界近 90 年的千禧年难题，OpenAI 用大约 88 小时找到了答案。

这道题叫 Navier – Stokes（纳维–斯托克斯）。

1934 年以来，Leray、Nirenberg、Caffarelli、Tao 等一代代顶尖数学家不断逼近这个问题；2000 年，它又被列入七道千禧年大奖难题之一，悬赏 100 万美元。

这是一道什么样的难题？OpenAI 又是如何解决的？

01PART ONE

一道价值百万美元的千禧难题

很多人可能都没有听说过 Navier – Stokes，但在现实生活中，我们每天都在和它打交道。

人类已经可以造出跨越大洋的飞机，可以预测台风怎样移动，也可以在一辆汽车真正造出来之前，就在电脑里模拟高速行驶时空气怎样从车身两侧掠过。

这些背后应用的，正是一套已经诞生两百年的方程——纳维–斯托克斯方程，Navier – Stokes equations（简称 N – S 方程），它是它是空气动力学、气象学、海洋学以及计算流体力学（CFD）的基础。

对于密度恒定、不可压缩的牛顿流体，常见形式是：

同时满足质量守恒：

但是，数学家总会对 " 无限 " 和 " 例外 " 追问到底、感到着迷。

对于所有可能的三维初始状态，Navier – Stokes 方程的解是不是都能一直存在并保持光滑？还是至少存在一种极端情况，会在有限时间内形成奇点？

这么说可能还是有点难以理解，我们换个说法。想象一下，你往一杯咖啡里滴一滴牛奶，再用勺子轻轻搅一下。你会看到里面出现很多小漩涡。

这些漩涡无论怎么变化，是不是最终都能被方程正常描述；还是存在一种非常特殊的情况，某个局部的流动会变得越来越集中、越来越剧烈，最终出现一种数学上的异常——水流在一个极小区域里的变化大到趋向无穷。

这就是所谓的 " 奇点 "。

这个问题困住了一代又一代数学家。

1934 年，法国数学家 Jean Leray 先迈出了关键一步。他证明，即便不能保证三维流体始终完美光滑，至少存在一种要求更宽松的 " 弱解 "，可以一直延续下去。

到了 1982 年，Luis Caffarelli、Robert Kohn 和 Louis Nirenberg 又证明，即使三维弱解真的出现奇点，这些异常也只能藏在时空中极小的集合里。菲尔兹奖得主 Terence Tao 也长期关注 Navier – Stokes。2014 年，他没有直接解决原方程，而是构造了一个保留许多 Navier – Stokes 关键结构的 " 平均版本 "，并证明这个修改后的系统确实可以在有限时间形成奇点。

2000 年，Clay 数学研究所把它列入七道 " 千禧年大奖难题 "，每道题悬赏 100 万美元。二十多年过去，七道题中正式解决的仍然只有庞加莱猜想。

近 90 年来，没有一个聪明大脑解决这个问题。

02PART TWO

OpenAI 用 88 小时，给出 90 年未解难题的答案

而现在，OpenAI 宣称，它找到了答案。

9 月 8 日，OpenAI 正式公布了一份 Navier – Stokes 证明。

它给出的答案是：三维 Navier – Stokes 方程确实可以在有限时间内形成奇点。

OpenAI 构造的是这样一种情况：流体一开始处于平滑状态，甚至是静止的；之后给它施加一个平滑的外力，流体开始运动。随着时间推进，一个涡旋不断向内盘旋，同时被越拉越长。OpenAI 把它形容得很直观——像一根不断被拉长的意大利面。中心区域越来越小，速度却越来越高，最终在有限时间内增长到没有上界。整个过程中，流体的总能量仍然保持有限。

▲橙色表示更快的角旋转；青绿色表示较慢的旋转。环流速度还取决于半径。轨迹显示出向内螺旋和轴向拉伸。来源：OpenAI 官网

这里最难的地方，是这个奇点不能靠 " 作弊 " 制造出来。

如果直接给流体施加一个无限大的外力，当然可以让速度变得异常，但这并不能解决千禧年难题。OpenAI 要做的是：外力始终平滑、正常，但流体自身的运动却一步步发展出奇点。

这要求 Navier – Stokes 方程里的几部分同时达到一种非常精细的平衡。加速度、压力梯度、动量传递、黏性，这些项都会变得很大，但又必须彼此准确抵消。最后留下来的外力仍然是平滑的，而流体速度却已经增长到无界。OpenAI 把这称为证明里的核心技术挑战。

而找到这条证明的过程，也不是让一个模型从头算到尾。

从 8 月 28 日开始，OpenAI 一直在训练一个新的内部模型。官方称，这个模型在包括数学在内的 benchmark 上出现了此前没有见过的表现，而且训练期间能力还在继续提升。它的整体能力被 OpenAI 描述为 " 显著强于 GPT-6 Astra"。

▲ GPT-6 Astra 与 OpenAI 内部模型在一组精选开放数学问题上的表现

9 月 1 日，OpenAI 开始让这个模型驱动大量 agent，去尝试几个尚未解决的千禧年难题。

这些 agent 被分成不同小组，可以查缓存互联网、运行代码，也可以在组内交流。对于 Navier – Stokes，OpenAI 没有只让所有人朝一个方向走，而是同时给不同组不同版本的问题：有的尝试证明解永远保持光滑，有的反过来寻找形成奇点的反例。最终找到 Navier – Stokes 解的那一组，规模大约达到 1 万个并发 agent。

但真正的突破，先出现在一个更简单的问题上。

OpenAI 还给 agent 安排了一些 " 较容易 " 的开放问题，其中一个就是 Euler 方程。它和 Navier – Stokes 非常接近，只是去掉了黏性这一项。

接近 100 个 agent 一起做了约 50 个小时，先找到了一个无外力 Euler 方程形成奇点的证明。

看到这条路线走通后，OpenAI 判断 Navier – Stokes 变成了最有希望拿下的问题，于是把原本分配给其他千禧年难题的 agent 调了过来，并把刚得到的 Euler 证明交给它们继续研究。

随后，不同 agent 小组继续尝试不同路线。过一段时间，OpenAI 会用 Codex 把各组最有价值的中间结果汇总起来，再重新交给 agent 继续往下做。最终找到 Navier – Stokes 证明的那组，就是在这种不断汇总、再推进的过程中被引导到正确路线上的。

9 月 5 日，距离第一批 agent 启动大约 88 小时，系统得到了解答。

整个 Navier – Stokes 项目中，agent 一共交换了约 270 万条消息，输出约 1300 亿个 token。

但 OpenAI 还没有停在 " 找到一篇看起来成立的证明 " 上。

之后，他们又把证明转成 Lean 形式化版本，让计算机逐步检查每一步逻辑。这一步用了 GPT-6 Astra，又花了大约 17 个小时。最终，OpenAI 同时公开了一份人可以阅读的分析证明，以及一份 Lean 形式化证明。

所以这次并不是 " 一个更强的模型突然灵光一闪 "。

更准确地说，是：一个尚未公开的更强内部模型，驱动大量 agent 并行探索；先在 Euler 方程上找到突破，再把这条路线带回 Navier – Stokes；不同小组不断交换和汇总中间结果，最后再用 Lean 完成机器验证。

OpenAI 认为，这套证明已经建立了 Clay 官方问题表述里的 C 情形，同时也满足 D 情形，因此解决了 Navier – Stokes 千禧年难题。

03EPILOGUE

结语

就在 Navier – Stokes 结果公布前几周，Anthropic 也公开了 Claude 在纯数学上的一次尝试。8 月，一个未发布版本的 Claude 被用来挑战黎曼猜想。它没有解开这道同样价值 100 万美元的千禧年难题，却意外推进了一个相关结果：把已知的黎曼零点比例下界从 41.6% 提高到了 67.2%。

也有人在尝试使用 Claude 推进 Navier – Stokes 相关研究。NYU 数学家 Tristan Buckmaster 和 Anthropic 研究员 Levent Alp ö ge 此前就在推进相关问题，他们在这个过程中也使用了 Claude 和 Codex。

所以，当 OpenAI 公布结果后，Buckmaster 公开质疑 OpenAI 获知其研究进展后的处理方式；OpenAI 则否认曾查看或使用他们未公开的研究内容。

从黎曼猜想到 Navier – Stokes，一个变化已经越来越明显：大模型开始不满足于解已有答案的数学题，而是在往那些人类还不知道答案的问题里走。

所以，下一道被 AI 推开的数学难题，会是哪一道？

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