AI 证明数学猜想，这次来真的了。

OpenAI 最新模型 GPT-5.2 Pro 刚刚独立证明了一道埃尔德什猜想。

论证过程经菲尔兹奖得主陶哲轩验证成立，还被评价为 " 迄今为止最明确的第一类结果（AI 主要贡献）"。

这道题是埃尔德什问题库中的第 281 号，由传奇数学家保罗 · 埃尔德什（Paul Erd ő s）与罗纳德 · 格雷厄姆（Ronald Graham）于 1980 年共同提出，涉及同余覆盖系统与自然密度的深层关系。

45 年来，这道题一直静静躺在问题库里，等待解答。

直到 2025 年 1 月 17 日，一位名叫 Neel Somani 的研究者把这道题扔给了 GPT-5.2 Pro。

证明只用到 GPT 5.2 Pro

埃尔德什问题网站已收录 AI 证明结果。

整个论证在无穷阿德尔整数环上展开，借助哈尔测度和点态遍历定理，结合紧致性论证完成了从逐点收敛到一致收敛的跃迁。

按陶哲轩的话说，它是 "Furstenberg 对应原理 " 的一个变体，这是遍历理论与组合数学交叉领域的标准工具。

但 GPT-5.2 Pro 的用法又有些不同，它比通常的论证更依赖伯克霍夫定理。

然而真正让陶哲轩印象深刻的不是证明方法本身，而是 AI 没有犯错。

让我更惊讶的是它避免了错误，比如极限交换或量词顺序的失误，这正是这道题最容易踩的坑。前几代大语言模型几乎肯定会在这些微妙之处栽跟头。

为了验证这份证明，陶哲轩亲自动手，把整套遍历论论证翻译成了组合学语言，用哈代 - 利特尔伍德极大不等式替代伯克霍夫定理，重新走了一遍全部推导。

结论：证明成立。

一个意外的发现

正当大家讨论 GPT-5.2 Pro 的证明时，一位网名 KoishiChan 的用户在评论区抛出了一个令人意外的发现：

这道题其实有更简单的解法，而且所需的两个定理早在 1936 年和 1966 年就已经存在了。

第一个是达文波特（Harold Davenport）与埃尔德什本人在 1936 年合作证明的密度收敛定理。

第二个是罗杰斯定理，首次发表于 1966 年的哈尔伯斯塔姆 - 罗斯专著《序列》第五章。把这两个经典结果拼在一起，第 281 号问题几乎是直接推论。

这就奇怪了。埃尔德什自己就是 1936 年那篇论文的合著者，而他在 1980 年提出这道题时，都没有意识到答案近在眼前。

陶哲轩就此事专门写邮件请教了法国数学家特南鲍姆（Tenenbaum）。

特南鲍姆确认 " 只要满足你提到的两个经典结果（达文波特 - 埃尔多斯定理和罗杰斯定理），问题就能立即得到解决 "，但他也猜测 " 问题的表述可能在某个环节被改动过 "。不过目前没有人找到任何其他版本的表述，所以只能按原样处理。

更有意思的是，2007 年菲拉塞塔、福特、科尼亚金、波默朗斯和余等五位顶尖专家在解决另一道埃尔德什问题时，同样不知道罗杰斯定理的存在，直到特南鲍姆提醒他们才补上了引用。

陶哲轩感慨：" 罗杰斯定理没有得到它应有的传播。它只出现在哈尔伯斯塔姆 - 罗斯那本书里，没有单独发表，文献引用寥寥无几。或许这场讨论能让更多研究筛法和同余覆盖的人注意到这个结果。"

最终现在这道题有了两份证明：一份来自 GPT-5.2 Pro 的遍历论路径，一份来自 KoishiChan 挖出的经典文献组合。

陶哲轩确认两者是 " 不同的证明 "，虽然在概念上有些重叠。

如何评估 AI 数学的真实成功率

消息传开后，各路 AI 模型纷纷被拉来交叉验证。

Gemini 3 Pro 表示证明没有问题。另一位研究者用 GPT-5.2 Pro 反复检查论证细节，AI 认为唯一需要补充严格性的地方在第二步，可以用法图引理绕过遍历论直接完成。

不过陶哲轩指出这里法图引理的方向用反：我刚教完研究生测度论，这类错误见得太多了。

随后又确认其实是对补集应用法图引理，方向没问题，论证成立。

但陶哲轩同时发出了冷静的提醒。他写道：

评估 AI 工具真实成功率时，最大的统计偏差来自强烈的报告偏差，负面结果几乎不会被披露。

如果某人或某 AI 公司把工具用在开放问题上但没有进展，他们没有动力报告这个负面结论；即使报告了，也不太可能像正面结果那样在社交媒体上传播开来。

尽管绝大多数集中在难度谱系的简单一端，远不能说明中等难度的埃尔德什问题已经进入 AI 的射程范围。

他推荐了 Paata Ivanisvili 和 Mehmet Mars Seven 发起的一个开源项目，系统记录前沿大语言模型在埃尔德什问题上的正面和负面结果。

数据显示，这些工具在埃尔德什问题上的真实成功率大约只有百分之一到二。

但考虑到问题库里有超过 600 道未解难题，这个比例仍然意味着一批数量可观且非平凡的 AI 贡献。