摘要

有时多层网络为复杂系统建模提供了一种强有力的框架，它能够在多个层面上捕捉同一实体之间的不同类型交互。核心—边缘（core-periphery）检测的目标，是将网络节点划分为核心节点与边缘节点：核心节点在整个网络中高度连接，而边缘节点与核心紧密连接，但彼此之间联系稀疏。本文提出了一种新的多层网络核心—边缘结构模型，并设计了一种非线性谱方法（nonlinear spectral method），能够在加权、有向的多层网络中，同时识别节点与层的核心与边缘结构。该方法在三个实证多层网络中展现出新的结构性洞见，分别是科学引文网络、欧洲航空运输网络与世界贸易网络。

关键词：多层网络（multilayer networks）；核心—边缘结构（core-periphery structure）；非线性谱方法（nonlinear spectral method）；复杂系统（complex systems）；网络科学（network science）

彭晨丨作者

论文题目：Core-Periphery Detection in Multilayer Networks

论文链接：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/yr23-71yc

发表时间：2025 年 8 月 22 日

论文来源：Physical Review Letters

引言：从单层到多层的跨越

在复杂系统研究的诸多分支中，网络科学已经成为一门核心工具。从 20 世纪末 " 无标度网络 "（scale-free networks）和 " 小世界网络 "（small-world networks）的发现，到今天多层网络（multilayer networks）的快速发展，研究者不断尝试以更精细的结构刻画真实世界的交互过程。单层网络只能展现某一维度的关系，而多层网络则能在不同层同时呈现交互关系，例如同一群体的人既可能在社交媒体上互动，也可能通过科研合作建立联系。

在网络分析中，核心—边缘结构（core-periphery structure）是一个经典问题。它试图回答：在一个庞大的系统中，哪些节点构成了紧密的核心，哪些节点则处于外围依附位置？在单层网络中，已有多种成熟的方法可以检测这种结构，例如与理想 L 型矩阵拟合，块模型优化，矩阵分解和谱方法等 [ 1-5 ] 。然而，当我们进入多层网络的世界，情况却变得更加复杂：一个节点可能在某一层是核心，在另一层却沦为边缘。这种交织关系，正是本文试图破解的难题 。

新模型的提出：多层核心—边缘的定义

要在多层网络中捕捉核心与边缘，首要挑战是如何在数学上定义这一概念。研究者提出了一种新的建模方式：不仅为每个节点赋予一个 " 核心度 "（coreness score），同时也为每一层分配一个核心度。这意味着，研究者不再局限于识别网络中哪些节点重要，还能判断哪些层在整体结构中占据核心地位。

这种建模方法通过引入一个四阶邻接张量（adjacency tensor）来实现。它不仅描述了节点之间的连接关系，还精确记录了这些关系发生在哪一层与哪一层之间。该四阶张量 A 编码从第 k 层节点 i 到第 l 层节点 j 的可能加权和有向边。

研究者设计了一种优化目标函数，将节点的核心度（x）和所属层的核心度（c）同时纳入其中，从而能够在全局范围内寻找最优的核心—边缘划分。优化目标的核函数选择的是两个平滑最大核的积，其核心思想是：一条边的权重越大，越要求连接它的节点与所在层至少有一方属于核心。这样，核心节点与核心层就会在优化过程中自然浮现。其中标量参数 α 和 β 用于控制核函数的平滑度。为防止目标函数崩溃，将目标函数除以了范数约束 ||x||p,||c||q。

非线性谱方法：算法与全局收敛性

传统的核心—边缘检测往往依赖于组合优化，而这类问题在中大型网络上计算代价极高。为此，研究者提出了一种非线性谱方法，将问题转化为迭代求解的形式。具体来说，该方法通过固定点迭代的方式，不断朝着相对 x 和 c 的梯度为 0 的方向更新核心度向量（见下式），直至收敛。其中 J 为 p 范数的梯度，p* 为 p 的 H ö lder 共轭。

与经典的线性谱方法（如特征向量中心性）不同，这里引入了非线性核函数（kernel function），能够更灵活地捕捉多层网络的异质性结构。研究者进一步利用非线性 Perron-Frobenius 理论，证明了算法在一定条件下（α , β , p, q > 1）可收敛至全局最优解，不仅保证了方法的数学严谨性，也提升了其在实际应用中的可靠性。

确定核心规模：从单层 L 形到双层 L 形

在识别出核心度之后，另一个关键问题是如何确定核心的边界，即哪些节点最终被归为核心，哪些留在边缘。传统的单层网络方法是通过与理想化的 "L 形模型 " 对比：核心区域对应邻接矩阵的左上角密集区，而边缘则位于右下角稀疏区。

本文将这一思路扩展到多层场景，通过 " 超邻接矩阵 "（supra-adjacency matrix）的构造，将多层网络展开为分块矩阵，再进行两级排序：先按照层的核心度重新排列，再在每一层内部按照节点核心度排列。最终形成一个 " 双层 L 形 " 结构，即不仅在整体层面呈现核心—边缘分布，每一层内部也同时展现这种结构。这一方法能够清晰地揭示多层网络的层间与层内核心关系 。

图 1. 2023 年复杂网络科学家加权 OpenAlex 多层引文网络的超邻接矩阵图。深色格网表示较大的边重。图 ( b ) 和 ( d ) 中的绿线表示层核心规模为 2，图 ( c ) 和 ( e ) 中的红线分别表示每个块中的节点核心的规模为 4058 和 2566。 ( a ) 原始超邻接。 ( b ) 完全置换的超邻接，p = q = 22。 ( c ) 左上角 5 × 5 块置换的超邻接，p = q = 22。 ( d ) 完全置换的超邻接，p = q = 2。 ( e ) 左上角 5 × 5 块置换的超邻接，p = q = 2。

实证一：科学引文网络的多层核心

研究者首先将方法应用于复杂网络科学领域的引文网络。他们基于 OpenAlex 数据库，收集了截至 2023 年以前的 3 万余篇相关论文，构建了一个包含 5 万多名作者、19 个学科层的多层网络。

结果显示，计算机科学与数学成为学科层面的核心，而在作者层面，不同参数设定下检测到约 2500 到 4000 名核心作者。更有趣的是，作者追踪了 2000 至 2023 年的动态演化，发现早期由于标志性论文的发表，核心作者排名经历了剧烈变化，但自 2006 年起，前五名核心作者几乎保持稳定。这一发现不仅印证了学科内部的权力集中性，也揭示了核心科学家的长期影响力 。

图 2. 2000 年至 2023 年加权 OpenAlex 引用多层网络中按节点核心度得分排名前 10 位的作者，p = q = 22。

实证二：欧洲航空运输网络

第二个案例是 2012 年的欧洲航空公司航线网络，包含 417 个机场与 37 家航空公司。算法结果显示，约 57 个机场处于核心地位，而在航空公司层面，汉莎、易捷、瑞安航空与柏林航空被识别为核心层。

一个有趣的现象是：瑞安航空在某些参数下排名很高，但在另一组参数下却跌至第 18 位。这反映了其 " 外围型 " 运营模式——虽然航线众多，但更多服务于边缘机场。这一发现为理解航空网络的层次结构提供了新视角，也提示我们在解读网络中心性时需要结合不同方法与参数设定。

图 3. 欧洲航空公司网络总图。核心机场用红色标记，边缘机场用黑色标记。只记录聚合层内边权值大于 1 的边，深色表示较大的边重。

实证三：世界贸易网络

最后，研究者将方法应用于 2000 — 2014 年的世界投入产出数据库（WIOD），构建了一个包含 56 个产业、43 个国家的多层贸易网络。

结果揭示：在国家层面，核心始终保持约 7 个国家，但排名发生显著变化，中国在 2000 年代中后期逐渐上升并最终居于首位。在产业层面，核心规模在 9 至 16 之间波动，2008 年全球金融危机导致核心产业数量骤降，特别是金融服务业的核心地位明显下降，而基础金属制造业的核心度不断上升。这些趋势生动地反映了国际经济格局的动态演化 。

结论：迈向多层网络的系统理解

本文的贡献在于提出了一种全新的多层核心—边缘检测框架，不仅能够识别节点的重要性，还能刻画不同层之间的核心性。这种双重视角使得研究者能够更全面地理解复杂系统中的权力结构与功能分工。通过引文、航空与贸易三大网络的实证检验，研究展示了方法的普适性与解释力。

未来，这一框架有望扩展至更多领域，例如脑连接组学中的多模态数据、城市交通中的多种运输方式、甚至社交媒体平台的跨平台互动。随着多层网络科学的不断发展，我们或许能够更深入地回答一个核心问题：在多重关系交织的世界中，真正的核心在哪里？

参考文献

[ 1 ] S. P. Borgatti and M. G. Everett, Models of core/periphery structures, Soc. Networks 21, 375 ( 2000 ) .

[ 2 ] M. P. Rombach, M. A. Porter, J. H. Fowler, and P. J. Mucha, Core-periphery structure in networks, SIAM J. Appl. Math. 74, 167 ( 2014 ) .

[ 3 ] L. L ü , T. Zhou, Q.-M. Zhang, and H. E. Stanley, The H-index of a network node and its relation to degree and coreness, Nat. Commun. 7, 10168 ( 2016 ) .

[ 4 ] J. P. Boyd, W. J. Fitzgerald, M. C. Mahutga, and D. A. Smith, Computing continuous core/periphery structures for social relations data with MINRES/SVD, Soc. Networks 32, 125 ( 2010 ) .

[ 5 ] R. J. Mondrag ó n, Network partition via a bound of the spectral radius, J. Complex Netw. 5, 513 ( 2017 ) .

从复杂网络的构建到智能优化的演化，理解网络的鲁棒性与瓦解机制始终是一个深刻的挑战。更值得深思的是，网络的结构和算法设计如何决定了网络在遭遇局部攻击时的脆弱性，及其整体瓦解的速度与范围。动态演化过程中的节点和边的变化，也会影响系统如何在瓦解中保持部分功能，或如何适应新的结构。因此，网络瓦解研究聚焦于一个核心问题：在不同类型的网络结构（如高阶网络、空间网络、时序网络）中，局部的破坏如何引发整体功能的丧失？在面对网络的异质性和约束条件下，不同的优化算法如何有效识别并摧毁关键节点与连接，从而最大化网络的瓦解效应，进而影响系统的整体稳定性与韧性？

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